22 三力平衡分析

题型特征

三个力平衡，且力与力的夹角有一个为直角，求某个力。

TIP

只受三个力，且受力平衡，求某个力。可以使用正交分解法，但其实有更简单的做法，三力平衡法。

三力平衡的三角形定则

共点力三力平衡

技巧

在这种特殊三角形中，若每个边的比值相同，那么我们可以利用它们比值相同的特点，分成单位份，省去解三角函数。

比如，左边每个边的比为 $\sqrt{3}:1:2$，那么 1 份的力就是 $\frac{mg}{\sqrt{3}}$，底边的力就是 $\frac{mg}{\sqrt{3}}$，斜边的力就是 $\frac{2mg}{\sqrt{3}}$

绳结问题

对于绳结问题，以结为对象。

三角形定则 vs 正交分解

三力平衡有垂直用三角形定则。

其他情况一律用正交分解。

例题

题 1

解

利用三力平衡分析法，得 $f=mgtan\theta$

$Fcos\theta =mg$

$F=\frac{mg}{cos\theta }$

选 $B$

题 2

解

$C$

题 3

解

画出受力分析图，然后按照特殊三角形的比值，可得 1 份的力为 $\frac{mg}{2}$，

$F_2$ 为 1 份的力，就是 $\frac{mg}{2}$

$F_1$ 为 $\sqrt{3}$ 份的力，为 $\frac{\sqrt{3}mg}{2}$

$D$

题 4

解

利用三力平衡分析做。将力平移到一个三角形中。

$B$

题 5

错解

以为弹簧和细绳对调后是一样的，然后就选 A 了。但感觉好像又不一样，但是又没有依据，所以还是认为是一样的。

$A$

解

观察 BO 和 AO，它们的长度相同。所以对于弹簧来说，它的形变量相同，那么它的弹力大小不变。所以假设弹簧的弹力为 T。

根据三角形的力平衡分析，将 G 用 T 表示出来，可得答案为 $2:\sqrt{3}$

选 $C$

题 6

解

（1）

以结为对象。根据三角形定则，

$1\mathrm{份}：\frac{m_{1}g}{4}=\frac{10}{4}=2.5N$

$F_{OA}=5\times 2.5=12.5$

$F_{OB}=3\times 2.5=7.5N$

（2）

$f=F_{OB}=7.5N$

方向向左。

题 7

解

利用三角形定则，OA 占的份数最多，选 A。

OA

$A$

题 8

解

（1）

利用三角形定则求解。

$1:\frac{20}{4}=5N$

$f=3\times 5=15N$

（2）

设 $m_{\mathrm{甲}}$

那么 $\frac{5m_{\mathrm{甲}}g}{4⩽100}$

$\frac{3m_{\mathrm{甲}}g}{4}⩽80$

即 $m_{\mathrm{甲}}⩽8,m_{\mathrm{甲}}⩽10.67$

所以 $m_{\mathrm{甲}}=8kg$