难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题端点效应对数均值不等式极值点偏移齐次式比值换元不等式性质

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

若不等式 $lnx⩾\frac{k(x-1)}{x+1}$ 对于 $\mathrm{\forall }x\in [1,+\mathrm{\infty })$ 恒成立；

（1）求实数 k 的取值范围；

（2）已知 $f(x)=\frac{lnx}{x}$，若 $f(x)=m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_1+x_2>\frac{3}{m}-e$

第一问

$lnx-\frac{k(x-1)}{x+1}⩾0,x⩾1$

令 $g(x)=lnx-\frac{k(x-1)}{x+1}$

所以 $g(x)⩾0,x⩾1$

$g(1)=0,g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{2k}{(x+1{)}^2}$

$\therefore g^{\prime }(1)=1-\frac{k}{2}⩾0$

即 $k⩽2$

下证，当 $k⩽2$ 时，$g(x)⩾0$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{2k}{(x+1{)}^2}⩾\frac{1}{x}-\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x(x+1{)}^2}⩾0$

$\therefore g(x)\uparrow ,g(1)=0$

$\therefore g(x)⩾0$

$k⩽2$

不等式性质

$m>n,a>b,\mathrm{则}a+m>b+n$

第二问

由题意得，

$\{\begin{array}{l}\frac{ln{x}_1}{x_1}=m\mathrm{①}\\ \frac{ln{x}_2}{x_2}=m\mathrm{②}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=m{x}_1\mathrm{①}\\ ln{x}_2=m{x}_2\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{①}$，得

$ln\frac{x_2}{x_1}=m(x_2-x_1)$

$m=\frac{ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}$

即证 $x_1+x_2>\frac{3(x_2-x_1)}{ln\frac{x_2}{x_1}}-e$

下证 $\frac{x_1+x_2}{2}>e$（极值点偏移）

……（通过构造函数证明，略）

所以根据不等式性质，

$\frac{3(x_1+x_2)}{2}>\frac{3(x_2-x_1)}{ln\frac{x_2}{x_1}}$

即证 $ln\frac{x_2}{x_1}>\frac{2(x_2-x_1)}{x_1+x_2}$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>1$

$lnt>\frac{2(t-1)}{t+1}$

令 $\phi (t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}⩾0$

$\therefore \phi (t)\uparrow ,\phi (t)>\phi (1)=0$

得证。