难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx+\frac{3m}{x}$

（1）若函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴相切，求 $m$ 的值；

（2）若函数 $f(x)$ 恰好有两个零点 $x_1,x_2(0<x_2<x_1)$，证明：$\frac{1}{x_1}+\frac{3}{x_2}⩾\frac{1}{m}$

解

（1）

$f(x)=lnx+\frac{3m}{x}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{3m}{x^2}$

$=\frac{x-3m}{x^2}$

令 $f^{\prime }(x)=\frac{x-3m}{x^2}=0$

则 $x=3m$

$f(3m)=ln(3m)+1=0$

$3m=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$m=\frac{1}{3e}$

（2）

因为 $f(x)$ 恰好有两个零点，

所以 $m>0$

$0<x<3m,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>3m,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$ln{x}_1+\frac{3m}{x_1}=0,\mathrm{①}$

$ln{x}_2+\frac{3m}{x_2}=0,\mathrm{②}$

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，得

$ln\frac{x_1}{x_2}+\frac{3m}{x_1}-\frac{3m}{x_2}=0$

$ln\frac{x_1}{x_2}+3m(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})=0$

$ln\frac{x_1}{x_2}=3m(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1})$

要证 $\frac{1}{x_1}+\frac{3}{x_2}⩾\frac{1}{m}$

即证 $\frac{x_2+3x_1}{x_1{x}_2}⩾\frac{1}{m}$

$3m(x_2+3x_1)⩾3x_1{x}_2$

$\frac{ln\frac{x_1}{x_2}}{\frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2}}\cdot (x_2+3x_1)⩾3x_1{x}_2$

$ln\frac{x_1}{x_2}⩾\frac{3(x_1-x_2)}{3x_1+x_2}$

$ln\frac{x_1}{x_2}-\frac{3(\frac{x_1}{x_2}-1)}{3\frac{x_1}{x_2}+1}⩾0$

令 $\frac{x_1}{x_2}=t,t>1$

即证 $lnt-\frac{3t-3}{3t+1}⩾0$

令 $h(t)=lnt-\frac{3t-3}{3t+1}$

$h^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{3(3t+1)-3(3t-3)}{(3t+1{)}^2}$

$=\frac{1}{t}-\frac{3\times 4}{(3t+1{)}^2}$

$=\frac{9t^2+6t-11}{t(3t+1{)}^2}$

因为 $9t^2+6t-11>0$

所以 $h(t)\uparrow$

$h(t)>h(1)=0$

所以 $\frac{1}{x_1}+\frac{3}{x_2}⩾\frac{1}{m}$

TIP

有倒数的话，可以在最开始时将倒数换成非倒数。