难度： 困难

标签： 导数问题参数分离分类讨论端点效应洛必达

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)$，若当 $x\in (1,\mathrm{\infty })$ 时，$f(x)>0$，求 a 的取值范围。

解法一，参数分离

$(x+1)lnx-a(x-1)>0,x\in (1,+\mathrm{\infty })$

$(x+1)lnx>a(x-1)$

$a<\frac{(x+1)lnx}{x-1}$

令 $g(x)=\frac{(x+1)lnx}{x-1}$

$g^{\prime }(x)=\frac{[(x+1)lnx{]}^{\prime }(x-1)-(x+1)lnx}{(x-1{)}^2}$

$=\frac{(lnx+1+\frac{1}{x})(x-1)-(x+1)lnx}{(x-1{)}^2}$

$=\frac{-2lnx+x-\frac{1}{x}}{(x-1{)}^2}$

令 $h(x)=-2lnx+x-\frac{1}{x}$

$h^{\prime }(x)=\frac{-2}{x}+1+\frac{1}{x^2}$

$=\frac{1-2x+x^2}{x^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2}$

$\therefore x>1,h^{\prime }(x)>0,h(x)$ 单调递增

$h(x)>h(1)=0$

$\therefore g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单调递增

$g(x{)}_{min}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x+1)lnx}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{lim}\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{1}$

$=2$

这里需要注意！ $g(x{)}_{min}$ 只能无限趋近于 2

所以 $a⩽2$

解法二，分类讨论

$f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),x\in (1,+\mathrm{\infty }),f(x)>0$

$f^{\prime }(x)=lnx+1+\frac{1}{x}-a$

令 $g(x)=f^{\prime }(x)$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}>0$

所以 $g(x)$ 单调递增，$f^{\prime }(x)$ 单调递增

$f^{\prime }(x)>f(1)=2-a$

下面开始分类：

1. 当 $2-a⩾0$，即 $a⩽2$ 时

$f^{\prime }(x)>0$

所以 $f(x)$ 单调递增

$f(x)>f(1)=0$

所以此种情况成立

2. 当 $2-a<0$ 即 $a>2$ 时

存在 $x_0\in (1,+\mathrm{\infty })$

当 $1<x<x_0,f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减

当 $x>x_0,f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

所以 $f(x{)}_{min}<f(1)=0$

与题目条件不符，所以此种分类舍去

综上，$a⩽2$

解法三，端点效应

$f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),x\in (1,+\mathrm{\infty })$

$f^{\prime }(x)=lnx+\frac{x+1}{x}-a$

因为 $f(1)=0$

所以 $f^{\prime }(1)⩾0$

$2-a⩾0$

即 $a⩽2$

所以当 $x\in (1,+\mathrm{\infty })\mathrm{且}f(x)>0$ 时，能推出 $a⩽2$（但是 $a⩽2$ 还不能推出 $x\in (1,+\mathrm{\infty })\mathrm{且}f(x)>0$）。

下证 $a⩽2$ 时能推出 $f(x)>0,x\in (1,+\mathrm{\infty })$

$f^{\prime }(x)=lnx+\frac{x+1}{x}-a⩾lnx+\frac{x+1}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$

令 $g(x)=lnx+\frac{1}{x}-1,x>1$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$

所以 $x>1$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单调递增

所以 $g(x)>g(1)=0$

$f^{\prime }(x)=g(x)>0$

所以 $f(x)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 单调递增

所以 $f(x)>f(1)=0$

综上，$a⩽2$ 时，能推出 $f(x)>0,x\in (1,\mathrm{\infty })$