解三角形总结

必备基础知识

1 正弦定理

解释了边角互换。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

R 为外接圆半径。

比值，上窄下宽（即上边是边，下边式角）。

2 余弦定理

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

3 面积公式

$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}\mathrm{底}\times \mathrm{高}$

4 大边对大角，对大正切（$tan\theta$）

5 正切恒等式

$$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC$$

即三角形的三角正切之和等于三角的正切之积。

证明：

$tan(A+B)=-tanC$

$\frac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB}=-tanC$

$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC$

6 合角差角公式

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \mathrm{①}$

$sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \mathrm{②}$

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta \mathrm{③}$

$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \mathrm{④}$

积化和差

意思是几个相乘的，变为几个想加减的。

$$\frac{\mathrm{①}+\mathrm{②}}{2}⟹sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )]\mathrm{⑤}$$$$\frac{\mathrm{①}-\mathrm{②}}{2}⟹cos\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )]$$$$\frac{\mathrm{③}+\mathrm{④}}{2}⟹cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )]$$$$\frac{\mathrm{④}-\mathrm{③}}{2}⟹sin\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )]$$

和差化积

将积化和差公式换一下元，就可以得到和差化积公式。

⑤ 式中，令 $\alpha +\beta =m,\alpha -\beta =n$

则

$$sin\frac{m+n}{2}\cdot cos\frac{m-n}{2}=\frac{1}{2}(sinm+sinn)$$$$sinm+sinn=2sin\frac{m+n}{2}\cdot cos\frac{m-n}{2}$$

其余同理。

7 二倍角公式

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$

$cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =1-2si{n}^2\alpha =2co{s}^2\alpha -1$

$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }$

8.1 三角之和为 180 度

$sin(B+C)=sinA$

$cos(B+C)=-cosA$

$tan(B+C)=-tanA$

8.2 两角互余结论

若 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

则 $sin\alpha =cos\beta$。

即你的正弦 等于 我的余弦。

证明：

$sin\alpha =sin(\frac{\pi }{2}-\beta )=cos\beta$

且两角互余的话，它们的正切值是互为倒数的。

$tan\alpha =\frac{1}{tan\beta }$

想想，${30}^{\circ }$ 和 ${60}^{\circ }$，是不是 $tan{30}^{\circ }=\frac{1}{tan{60}^{\circ }}$

证明：

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{cos\beta }{sin\beta }=\frac{cos\beta }{sin\beta }=\frac{1}{tanB}$

9 定比分点的坐标表示

等分点离哪条边越近，哪条边的权重就更大。

换句话说，权重交叉相反。比如几等分点的左边线段占 $\frac{1}{3}$，那么左边的斜边权重为 $\frac{2}{3}$；

右边的斜边的权重为 $\frac{1}{3}$。

比如下图中，

$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

10 第一余弦定理（射影定理）

$a=bcosC+ccosB$

$b=acosC+ccosA$

$c=acosB+bcosA$

11 圆的定弦对定角结论

若三角形中，$a=3,A=\frac{\pi }{3}$

则 $A$ 点一定在一个圆上。

应为圆中定弦所对的角一定是固定的。

如图：

12 阿氏圆问题

若一个动点到两个定点的距离的比是一个定值 $\lambda$，且 $\lambda \ne 1$，那么 A 点的轨迹就是一个圆。

这个圆叫阿氏圆。

13 辅助角公式

$asinA+bcosA$

$=\sqrt{a^2+b^2}sin(A+\phi )$

$tan\phi =\frac{b}{a}$.

若 $asinA-bcosA$

$=\sqrt{a^2+b^2}sin(A-\phi ),$

那么还是 $tan\phi =\frac{b}{a}$

14 万能公式（实现 tan、cos、sin 互换，要求会推）

$sin2\theta =\frac{2tan\theta }{1+ta{n}^2\theta }=\frac{2sin\theta cos\theta }{1}$

$cos2\theta =\frac{1-ta{n}^2\theta }{1+ta{n}^2\theta }=\frac{co{s}^2\theta -si{n}^2\theta }{1}$

$tan\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2sin\theta cos\theta }{cos2\theta }$

15 两个角度的正弦值平方差

为什么两个角度的正弦值平方差是等于这两个角度和的正弦值乘以这两个角度差的正弦值？

这两个角度之间可以没有任何的关系。这个等式有非常多的用处，

• 完成的降次（把二次降成了一次）
• 把两个没有关系的角度变得有关系起来

证明：

$si{n}^2\alpha -si{n}^2\beta =sin(\alpha +\beta )\cdot sin(\alpha -\beta )$

TIP

首先注意，三角函数中出现了平方的形式，一定要有一个警觉：关于平方非常重要的公式 $1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$

$si{n}^2\alpha \cdot 1-si{n}^2\beta \cdot 1$

$=si{n}^2\alpha (si{n}^2\beta +co{s}^2\beta )-si{n}^2\beta (si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha )$

$=(sin\alpha cos\beta {)}^2-(cos\alpha sin\beta {)}^2$

$=sin(\alpha +\beta )\cdot sin(\alpha -\beta )$