难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题三角形的四心切点弦方程阿基米德三角形

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）法一，换一半，会扣点分

$y_{0}y=x+x_0$

$-2y=x-1$

$x=-2y+1$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ x=-2y+1\end{array}$

$y^2+4y-2=0$

$y_1{y}_2=-2,y_1+y_2=-4$

$|AB|=\sqrt{1+4}|y_1-y_2|$

$=\sqrt{5}\sqrt{4^2-4\times (-2)}$

$=\sqrt{5}\sqrt{24}$

$=\sqrt{5}2\sqrt{6}$

$=2\sqrt{30}$

解（1）法二，旋转，三步走。阿基米德三角形

将抛物线逆时针旋转 90 度

则 $x^2=2y$

$y^{\prime }=x$

设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{2}),B(x_2,\frac{x_2^2}{2})$

$l_{PA}:y-\frac{x_1^2}{2}=x_1(x-x_1)$

$l_{PB}:y-\frac{x_2^2}{2}=x_2(x-x_2)$

联立，解得（阿基米德三角形结论）：$P(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1{x}_2}{2})$

所以 $\frac{x_1+x_2}{2}=2,\frac{x_1{x}_2}{2}=-2$

有了韦达定理，接着我们设直线 $y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2=2y\end{array}$

$x^2-2kx-2m=0$

$x_1+x_2=2k=4,x_1{x}_2=-2m=-2$

$l_{AB}:y=2x+1$

$|AB|=\sqrt{k^2+1}|x_1-x_2|=2\sqrt{30}$

解（2）

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$

$\frac{S_{ABC}}{S_{BMN}}=\frac{|AB||BC|}{|BM||BN|}$

$=\frac{y_2-y_1}{y_2}\frac{y_2-y_3}{y_2}$

$=(1-\frac{y_1}{y_2})(1-\frac{y_3}{y_2})$

$=1-\frac{y_1+y_3}{y_2}+\frac{y_1{y}_3}{y_2^2}$

因为重心在 x 轴上，所以 $\frac{y_1+y_2+y_3}{3}=0$

$y_3=-y_1-y_2$

$\mathrm{求}=1-\frac{-y_2}{y_2}+\frac{y_1(-y_1-y_2)}{y_2^2}$

$=2-\frac{y_1^2+y_1{y}_2}{y_2^2}$

$=2-(\frac{y_1}{y_2}{)}^2-\frac{y_1}{y_2}$

令 $t=\frac{y_1}{y_2},t<-\frac{3}{4}$

$\mathrm{求}=2-t^2-t$

一次性、二次项的系数符号同号，所以对称轴为负半轴。

$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$

$f(t{)}_{max}=f(-\frac{1}{2})=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$

TIP

圆锥曲线中，坐标最重要。

所以，线段关系，必转换为坐标关系。

所以

$\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{比}⟶\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{比}⟶\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{比}$

TIP