04 双曲线习题课

例题 1

双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ 的离心率是（）

解：

$a^2=4,b^2=3$

$a=2,b=\sqrt{3}$

$c=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$

所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

例题 2

已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，则下列说法错误的是（）

$A.\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}C\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{轴}\mathrm{长}\mathrm{为}8$

$B.\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}C\mathrm{的}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}y=\pm \frac{3}{4}x$

$C.\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}C\mathrm{的}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{到}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}3$

$D.\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}C\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{到}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}\frac{9}{4}$

解：

$a^2=16,b^2=9$

$a=4,b=3$

$\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}$

$y=\pm \frac{3}{4}x$

$c=\sqrt{25}=5$

渐近线方程为 $3x-4y=0$

$d=\frac{|15-0|}{\sqrt{9+16}}=3$

$d_2=c-a=5-4=1$

例题 3

已知 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 为双曲线右支上的点，若 $\mathrm{△}A{F}_1{F}_2$ 的内切圆与 $x$ 轴切与点 $M$，且 $|F_{1}M|=\sqrt{3}b$，则该双曲线的离心率为（）

$A.\sqrt{2}$

$B.\sqrt{3}$

$C.2$

$D.\sqrt{5}$

解：