难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题定比点差法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $F_{1}M=x$

$M{F}_2=2a-x$

$a+x=2a-x$

$a=2x$

$M{F}_1=\frac{a}{2},MP=\frac{3a}{2}$

$M{F}_2=\frac{3a}{2},P{F}_2=a$

$cos\mathrm{\angle }MP{F}_2=\frac{\frac{9}{4}{a}^2+a^2-\frac{9}{4}{a}^2}{2\times \frac{3a}{2}\times a}$

$=\frac{a^2}{3a^2}=\frac{1}{3}$

$cos2\theta =\frac{1}{3}$

$1-2si{n}^2\theta =\frac{1}{3}$

$sin\theta =\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{c}{a}$

$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$

解（2）

设 $\overrightarrow{P{F}_1}=\lambda \overrightarrow{F_{1}M}$

$\overrightarrow{P{F}_2}=\mu \overrightarrow{F_{2}N}$

$P(x_0,y_0)$

$\frac{S_{P{F}_1{F}_2}}{S_{PMN}}=\frac{P{F}_1\cdot P{F}_2}{(P{F}_1+F_{1}M)(P{F}_2+F_{2}N)}$

$=\frac{\lambda \mu }{(\lambda +1)(\mu +1)}$

$=\frac{\lambda \mu }{\lambda \mu +\lambda +\mu +1}$

$k_{PM}=\frac{y_0}{x_0+c}$

设直线 $PM:x=\frac{x_0+c}{y_0}y-c$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3c^2}+\frac{y^2}{2c^2}=1\\ x=\frac{x_0+c}{y_0}y-c\end{array}$

不要展开！我们只算 $y_1{y}_2$ 或 $x_1{x}_2$，不需要展开的一次项。

$2(\frac{x_0+c}{y_0}y-c{)}^2+3y^2-6c^2=0$

$y_0{y}_M=\frac{2c^2-6c^2}{2\frac{(x_0+c{)}^2}{y_0^2}+3}$

$=\frac{-4c^2{y}_0^2}{2(x_0+c{)}^2+3y_0^2}$

$=\frac{-4c^2{y}_0^2}{2x_0^2+4x_{0}c+2c^2+3y_0^2}$

$=\frac{-4c^2{y}_0^2}{4x_{0}c+8c^2}=\frac{-c{y}_0^2}{x_0+2c}$

$k_{PN}=\frac{y_0}{x_0-c}$

设直线 $PN:x=\frac{x_0-c}{y_0}y+c$

同理，$y_0{y}_N=\frac{2c^2-6c^2}{2\frac{(x_0-c{)}^2}{y_0^2}+3}$

$=\frac{-4c^2{y}_0^2}{2(x_0-c{)}^2+3y_0^2}$

$=\frac{-c{y}_0^2}{-x_0+2c}$

$y_M=\frac{-c{y}_0}{x_0+2c},y_N=\frac{-c{y}_0}{-x_0+2c}$

$\lambda =\frac{-y_0}{y_M}=\frac{x_0+2c}{c}$

$\mu =\frac{-x_0+2c}{c}$

$\lambda +\mu =4$

$\mathrm{求}=\frac{\lambda \mu }{\lambda \mu +5}=\frac{1}{1+\frac{5}{\lambda \mu }}$

$⩽\frac{1}{1+\frac{5}{\frac{(\lambda +\mu {)}^2}{4}}}$

$=\frac{1}{1+\frac{20}{16}}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$（当 $\mu =\lambda$ 时取等。）

TIP

参考：这道题

第一题

把一个角放在两个三角形中，利用两次余弦定理。

TIP

TIP

椭圆上一个点，作了 x 轴上两个定点，且这两个定点是对称的，那么 $\lambda +\mu$ 是一个定值。

TIP

有些时候需要自己吧比例 $\lambda ,\mu$ 设出来。

TIP

但凡遇到求三角形之比且是同一个顶角时，常用求面积公式 $\frac{1}{2}absin\theta$

TIP

有三个数，a、b、c，我们一般想通过一个数表示另外一个数，那就让这三个数写成一排，看比例大小。