难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： （1）构造函数时，将自变量代入化简，导致计算出错。其实可以不用先化简，先把求导后的形式写出来，最后将自变量代入即可。（2）不能判断 f(x) 的值与 0 的关系，但其实好判断 f(x± b) 的值，再利用单调性判断。

已知函数 $f(x)=x(1-lnx).$

（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（II）设 a，b 为两个不相等的正数，且 $blna-alnb=a-b$，证明：$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

第一问

$f(x)=x(1-lnx)$

$f^{\prime }(x)=1-lnx+x(-\frac{1}{x})$

$=-lnx$

所以在 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减

$f(x)$ 在 $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 上有最大值 $f(1)=1$

极值点偏移，怎么判断往哪边偏？

哪边更陡，往哪边偏。

第二问

$blna-alnb=a-b$

遇到多变量式想到口诀：相同变量放一起，不同变量放两边。

$blna+b=alnb+a$

$b(lna+1)=a(lnb+1)$

$\frac{lna+1}{a}=\frac{lnb+1}{b}$

$\frac{lna}{a}+\frac{1}{a}=\frac{lnb}{b}+\frac{1}{b}$

$\frac{-ln\frac{1}{a}}{a}+\frac{1}{a}=-\frac{ln\frac{1}{b}}{b}+\frac{1}{b}$

证左边

令 $\frac{1}{a}=m,\frac{1}{b}=n$

则 $m(1-lnm)=n(1-lnn)$，即 $f(m)=f(n)$

不妨设 $n>1>m>0$

证 $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

即证 $2<m+n$

如果要用对数均值不等式证，该怎么做？

即证 $n>2-m$

因为 $0<m<1,2-m>1$

即证 $f(m)=f(n)<f(2-m)$

即证 $G(x)=f(x)-f(2-x),0<x<1$

这里没有必要代入化简，会增加错误率

$G^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(2-x)$

$=-lnx-ln(2-x)$

$=-lnx(2-x)$

因为 $x(2-x)\in (0,1),x\in (0,1)$

所以 $G^{\prime }(x)>0$

$G(x)$ 单调递增，$G(1)=f(1)-f(1)=0$

所以 $G(x)<0$

得证。

证右边

证 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

即证 $m+n<e$

即证明 $n<e-m$（不能转化为证明 $0<m<e-n$，因为前面我们规定了 $0<m<1，n>1,e-n>1$，不在一个单调定义区间）

$f(m)=f(n)>f(e-m)$

令 $H(x)=f(x)-f(e-x),0<x<1$

$H^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(e-x)$

$=-lnx(e-x)$

因为 $x(e-x)$ 在 $(0,1)$ 上是单调递增的，$x(e-x)\in (0,e-1)$，

所以 $-lnx(e-x)$ 在 $(0,1)$ 上是单调递减的。

存在 $x_0\in (0,1)$，使得 $x_0(e-x_0)=1$

所以 $(0,x_0),H^{\prime }(x)>0,H(x)$ 单增

$(x_0,1),H^{\prime }(x)<0,H(x)$ 单减

因为 $H(0^{+})=f(0^{+})-f(e)=0$

$H(1)>H(\frac{e}{2})=f(\frac{e}{2})-f(\frac{e}{2})=0，(H(x)\mathrm{在}(0,\frac{e}{2})\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}\mathrm{的})$

所以 $H(x)>0$

得证。