难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=ax-alnx-\frac{e^x}{x}$

（1）若不等式 $f(x)<0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

（2）若函数 $y=f(x)$ 有三个不同的极值点 $x_1,x_2,x_3$，且 $f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)⩽3e^2-e$，求实数 $a$ 的取值范围。

解（1）低档方法：分参

$f(x)=ax-alnx-\frac{e^x}{x}(x>0)$

$f(x)<0$ 恒成立

$a(x-lnx)-\frac{e^x}{x}<0$

$a<\frac{e^x}{x^2-xlnx}$

令 $g(x)=\frac{e^x}{x^2-xlnx}$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^x(x^2-xlnx)-e^x(2x-lnx-1)}{(x^2-xlnx{)}^2}$

$=\frac{e^x(x^2-2x-xlnx+lnx+1)}{(x^2-xlnx{)}^2}$

令 $h(x)=x^2-2x-xlnx+lnx+1$

$h^{\prime }(x)=2x-2-lnx-1+\frac{1}{x}$

$h^{\prime \prime }=2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$

$=\frac{2x^2-x-1}{x^2}=\frac{(x-1)(2x+1)}{x^2}$

所以 $0<x<1,h^{\prime \prime }<0,h^{\prime }(x)\downarrow$

$x>1,h^{\prime \prime }>0,h^{\prime }(x)\uparrow$

$h^{\prime }(x)>h^{\prime }(1)=0$

所以 $h(x)\uparrow ,h(1)=0$

$0<x<1,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>1,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(x{)}_{min}=g(1)=e$

所以 $a<e$

解（1）高档方法：必要性探路

$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=0\\ f(x)=0\end{array}$

解（1）中档方法：同构

解（2）

$y=f(x)=ax-alnx-\frac{e^x}{x}$

$f^{\prime }(x)=a-\frac{a}{x}-\frac{e^x(x-1)}{x^2}$

$=\frac{a{x}^2-ax-e^x(x-1)}{x^2}$

$=\frac{ax(x-1)-e^x(x-1)}{x^2}$

$=\frac{(x-1)(ax-e^x)}{x^2}$

所以 $x=1$ 为其中一个极值点

令 $m(x)=a=\frac{e^x}{x}$

$m^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$

$0<x<1,m^{\prime }(x)<0,m(x)\downarrow$

$x>1,m^{\prime }(x)>0,m(x)\uparrow$

所以可以设 $0<x_1<x_2=1<x_3$，且 $a>e$

$\{\begin{array}{l}{e}^{x_1}=a{x}_1\\ e^{x_3}=a{x}_3\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1=lna+ln{x}_1\\ x_3=lna+ln{x}_3\end{array}$

$f(x_2)=f(1)=a-e$

$f(x_1)+f(x_3)+a-e⩽3e^2-e$

$f(x_1)+f(x_3)⩽3e^2-a$

$f(x_1)+f(x_3)=a(x_1-ln{x}_1)-\frac{e^{x_1}}{x_1}+a(x_3-ln{x}_3)-\frac{e^{x_3}}{x_3}$

$=alna-a+alna-a=2alna-2a$

$2alna-2a⩽3e^2-a$

$2alna-a-3e^2⩽0(a>e)$

令 $\phi (a)=2alna-a-3e^2$

${\phi }^{\prime }(a)=2(1+lna)-1=2lna+1>0$

所以 $\phi (a)\uparrow$

$\phi (e^2)=2e^2\cdot 2-e^2-3e^2=0$

所以 $e<a⩽e^2$

TIP

题目告诉自变量的关系，可以使用比值换元。

告诉函数值的关系时，不能用比值换元，应该取对数，观察结构，全换成含 $a$ 的式子。