角平分线定理

总结

不管是外角平分线定理，还是内角平分线定理，它们是通用的（字母都一样），每次记不住外角平分线定理就画个内角。

定理一：内角平分线定理

三角形 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }A$ 的角平分线与它的对边交于点 $D$，那么 $\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。

证明

作 $CE\parallel AD$ 交 $BA$ 的延长线与点 $E$。

因为 $AD\parallel CE$，

所以 $\frac{BA}{AE}=\frac{BD}{DC}$

所以 $\mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }ECA$

$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }E$，

由因为是角平分线，所以 $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$

所以 $\mathrm{\angle }ECA=\mathrm{\angle }E$

所以 $AE=AC$

所以 $\frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}$

定理二：外角平分线定理

外角平分线定理

假设有三角形 $\mathrm{△}ABC$，

对于三角形的任意一个外角比如 $\mathrm{\angle }A$，它的角平分线交对边于 $D$ 点。

三角形的任意一个外角的角平分线将对边分成两段，

若三角形 $\mathrm{△}ABC$ 的两边不相等，则作角 $\mathrm{\angle }A$ 的补角的角平分线，交 $\mathrm{\angle }A$ 的对边的延长线于一点 $D$，那么 $\frac{AC}{AB}=\frac{\mathrm{延}\mathrm{长}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{的}\mathrm{长}}{(\mathrm{延}\mathrm{长}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{的}\mathrm{长}+\mathrm{延}\mathrm{长}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{所}\mathrm{在}\mathrm{边}\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{长})}$

证明：

如图，$\mathrm{\angle }CAE$ 为 $\mathrm{\angle }BAC$ 的补角，$\mathrm{\angle }CAE$ 的角平分线为 $AD$。过点 $C$ 作 $AD$ 的平行线交 $AB$ 于点 $F$。

因为 $CF\parallel AD$，且 $AD$ 是角平分线，

所以 $\mathrm{\angle }AFC=\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }ACF$

即 $\mathrm{\angle }AFC=\mathrm{\angle }ACF$

所以 $AF=AC$。

又因为 $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$

所以 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$