15 题型技巧课：子弹打木块 - 基础篇

题型特征

地面光滑，子弹射入木块，求产生的内能、射入长度、运动时间。

类碰撞模型

类碰撞模型是一段运动过程，虽然不是碰撞，但是本质和碰撞一样。

可以等效为“完全非弹性碰撞”和“完全弹性碰撞”模型。

俩物体

• 动量：动量守恒
• 能量：动能守恒或一部分动能转化成其他能（运动前只有动能）

四大类碰撞模型

子弹打木块

核心方程

子弹钻木块过程中合外力为 0，动量守恒：

$m{v}_0=(m+M)v_{\mathrm{共}}$

碰撞之前只有动能，子弹和木块达到共速后部分动能转化成热量：

$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}(m+M)v_{\mathrm{共}}^2+Q$

可以发现这两个方程和“完全非弹性碰撞”的方程一模一样。

因此“子弹打木块模型”可以等效成“完全非弹性碰撞模型”分析！使用折合质量法快速求得热量 $Q$。

求热量

使用折合质量法，

损失的机械能，产生的热量：$E_{\mathrm{损}}=Q=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}{v}_{\mathrm{相}}^2$

求深度

先用折合质量法求 $Q$，然后利用 $Q=f∆x$ 求得深度（就是子弹和木块的相对位移）。

求射入时间

对 M 列动量定理，

$F_{\mathrm{合}}=\mathrm{\Delta }p$

$ft=M{v}_{\mathrm{共}}$

多过程问题

顶级思维：

将类碰撞和其他运动分开，等效成两个运动！

类碰撞：

子弹打木块，动量守恒，机械能不守恒。

其他运动：

共速后一起向上摆，机械能守恒，动量不守恒。

例题

题 1

解

$Q=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}{v}^2$

$=\frac{1}{2}\frac{m}{1+\frac{m}{M}}{v}^2$

$C$

题 2

解

$mv=(m+M)v_{\mathrm{共}}$

$v_{\mathrm{共}}=20m/s$

$Q=f\mathrm{\Delta }x$

$Q=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}{v}^2=900J$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{900}{4500}=0.2m$

题 3

解

（1）

以 $v_0$ 为正方向

$m{v}_0=(m+M)v_{\mathrm{共}}$

$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}(m+M)v_{\mathrm{共}}^2+Q$

解得 $Q=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}{v}_0^2$

又因为 $Q=F\mathrm{\Delta }x$，$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2F}\frac{Mm}{M+m}{v}_0^2$

（2）

对 M 列动量定理

$Ft=M{v}_{\mathrm{共}}，v_{\mathrm{共}}=\frac{m{v}_0}{M+m}$

$t=\frac{Mm{v}_0}{F(M+m)}$

题 4

解

将射入过程和上升等效为两个运动，射入过程动量守恒，机械能不守恒。上升过程机械能守恒，动量不守恒。

A 错。

B 错。

C 错。

$m{v}_0=(M+m)v_{\mathrm{共}}$

$\frac{1}{2}(M+m)v_{\mathrm{共}}^2=(M+m)gh$

$h=\frac{v_{\mathrm{共}}^2}{2g}=\frac{m^2{v}_0^2}{2g(M+m{)}^2}$

$D$ 对。

题 5

解

分成多个运动：下落，碰，上荡。 $\frac{1}{2}2m{v}_{\mathrm{共}}^2=2mg{h}^{\prime }$

$m{v}_0=2m{v}_{\mathrm{共}}$

$mgh=\frac{1}{2}m{v}_0^2$

$v_0=\sqrt{2gh}$

$v_{\mathrm{共}}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}$

$h^{\prime }=\frac{h}{4}$

$C$