难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $G{F}_1=y,G{F}_2=x,x^2+y^2=4c^2$

$x+y=2a,xy=2$

$4a^2=x^2+y^2+2xy=x^2+y^2+4$

$4a^2=4c^2+4$

$a^2=c^2+1$

$2c=2a-2r$

$c=a-r$

$a=c+r$

$a^2=c^2+2cr+r^2$

$c^2+1=c^2+2cr+r^2$

$r^2+2cr-1=0$

$c=\frac{1-r^2}{2r}=\frac{1}{2}(\frac{1}{r}-r)$

$=\frac{1}{2}(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3})$

$=\sqrt{3}$

$a^2=3+1=4$

$b^2=a^2-c^2=1$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）法一，正设直线

$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$

设直线 $l:y-1=k(x+2)$

$y=kx+2k+1$，设 $2k+1=m,y=kx+m$

$\frac{y_1-1}{x_1}=\frac{-1}{x_M}$

$x_M=\frac{-x_1}{y_1-1}$

$M(\frac{-x_1}{y_1-1},0)$

$\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{-1}{x_N},x_N=\frac{-x_2}{y_2-1}$

$N(\frac{-x_2}{y_2-1},0)$

M 到直线 l 的距离：$d_1=\frac{|\frac{-x_{1}k}{y_1-1}+2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$

N 到直线 l 的距离：$d_2=\frac{|\frac{-x_{2}k}{y_2-1}+2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$

因为是在直线两边，所以是相减

$d_1+d_2=\frac{|\frac{x_2}{y_2-1}-\frac{x_1}{y_1-1}|k}{\sqrt{k^2+1}}$

$$\begin{gathered} \frac{x2}{4}+y^2=1 \\ y=kx+m \end{gathered}$$

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times (4k^2+1-m^2)}}{4k^2+1}$

$=\frac{4\sqrt{4k^2+1-m^2}}{4k^2+1}$

$4k^2+1-m^2=4k^2+1-(4k^2+4k+1)=-4k$

所以 $|x_1-x_2|=\frac{4\sqrt{-4k}}{4k^2+1}$

$|DE|=\sqrt{1+k^2}\frac{4\sqrt{-4k}}{4k^2+1}$

$S=\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}\frac{4\sqrt{-4k}}{4k^2+1}\frac{|(\frac{x_2}{y_2-1}-\frac{x_1}{y_1-1})k|}{\sqrt{k^2+1}}$

$\frac{x_2}{y_2-1}-\frac{x_1}{y_1-1}=\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2+x_1-x_2}{(y_2-1)(y_1-1)}$

$=\frac{x_2(k{x}_1+m)-x_1(k{x}_2+m)+x_1-x_2}{(y_2-1)(y_1-1)}$

$=\frac{m(x_2-x_1)+x_1-x_2}{(y_2-1)(y_1-1)}$

$=\frac{(m-1)(x_2-x_1)}{(y_2-1)(y_1-1)}$

$x=\frac{y-m}{k}$

$\frac{(\frac{y-m}{k}{)}^2}{4}+y^2=1$

$(y_2-1)(y_1-1)=\frac{\frac{(1-m{)}^2}{4k^2}}{\frac{1}{4k^2}+1}=\frac{(m-1{)}^2}{4k^2+1}$

所以 $\frac{x_2}{y_2-1}-\frac{x_1}{y_1-1}=\frac{4\sqrt{-4k}}{m-1}$

$S=\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}\frac{4\sqrt{-4k}}{4k^2+1}\frac{|\frac{4\sqrt{-4k}}{m-1}k|}{\sqrt{k^2+1}}$

$=\frac{2\sqrt{-4k}}{4k^2+1}|\frac{4k\sqrt{-4k}}{m-1}|=\frac{2\sqrt{-4k}}{4k^2+1}|2\sqrt{-4k}|$

$=\frac{-16k}{4k^2+1},(k<0)$

$=\frac{-16}{4k+\frac{1}{k}}$

$4k+\frac{1}{k}\in (-\mathrm{\infty },-4]$

$S_{max}=\frac{-16}{-4}=4$

解（2）法二，反设直线相对更简单。且以 x 轴作用分割三角形的线，会更加简单。

TIP

求 $S=\frac{-16k}{4k^2+1}(k<0)$ 的最值，可以将 $-k$ 变为 $|k|$，这样定义域就变为正数了。

$S=\frac{16|k|}{4k^2+1}$

$=\frac{16}{4|k|+\frac{1}{|k|}}$

TIP

$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}{r}_{\mathrm{内}\mathrm{切}\mathrm{圆}}{C}_{\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{周}\mathrm{长}}$

TIP

对于式子 $\lambda =\frac{x_1}{y_1-1}-\frac{x_2}{y_2-1}$，

使用反设直线将 $x_1,x_2$ 坐标替换为 $y_2$ 坐标，这样是可以分离常数化简的，并且将会比正设直线化简更简单。