难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题分离参数点乘双根法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$2a=4$

$a=2$

$\frac{1}{2}2ab=2$

$b=1$

$E:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$. $A(2,0),B(0,1)$

$k_{AM}=\frac{y_2}{x_2-2}$

$k_{AP}=\frac{y_P}{x_2-2}$

$k_{AQ}=\frac{y_Q}{x_2-2}$

因为 $P$ 是 MQ 中点

所以 $2y_p=y_2+y_Q$

所以 $2k_{AP}=k_{AM}+k_{AQ}$

$k_{AP}=k_{AB}+k_{AQ}$

$k_{AP}=k_{AB}=-\frac{1}{2}$

$k_{AQ}=\frac{y_2}{x_2-2},k_{AM}=\frac{y_1}{x_1-2}$

设 $MN$ 为 $y=kx+m$

$-1=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}$

统一自变量

$-1=\frac{k{x}_1+m}{x_1-2}+\frac{k{x}_2+m}{x_2-2}$

大概率会错的做法：

$-1=\frac{k{x}_1}{x_1-2}+\frac{m}{x_1-2}+\frac{k{x}_2}{x_2-2}+\frac{m}{x_2-2}$

$-1=k\frac{2x_1{x}_2-2(x_1+x_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}+m\frac{x_1+x_2-4}{(x_1-2)(x_2-2)}$

像这样子把分子分割成小块，然后在分别相加，虽然也能得到全是含 $x_1{x}_2,x_1+x_2$ 的式子，但是更加复杂难算，且不能用到有一个点在椭圆上的化简技巧。

应该像这样做，分离常数，把常数分离出来：

$-1=\frac{k(x_1-2)+m+2k}{x_1-2}+\frac{k(x_2-2)+m+2k}{x_2-2}$

$-1=k+\frac{m+2k}{x_1-2}+k+\frac{m+2k}{x_2-2}$

$-1=2k+(m+2k)\frac{x_1+x_2-4}{(x_1-2)(x_2-2)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$x^2+4(kx+m{)}^2-4=0$

$(4k^2+1)x^2+8mkx+4m^2-4=0$

$x_1+x_2=\frac{-8mk}{4k^2+1},x_1{x}_2=\frac{4m^2-4}{4k^2+1}$

所以 $-1=2k+(m+2k)\frac{-8mk-16k^2-4}{16k^2+16mk+4m^2}$

$=2k+(m+2k)\frac{-4(2mk+4k^2+1)}{4(m+2k{)}^2}$

$2k+\frac{-2mk-4k^2-1}{m+2k}=-1$

$4k^2+2mk-2mk-4k^2-1=-m-2k$

$m=1-2k$

$y=kx+1-2k$

$=k(x-2)+1$

所以直线过定点 $(2,1)$

TIP

看到中点时，往斜率上靠。

配凑相比把分子拆开相加，更简单一点

大概率会错的做法：

$-1=\frac{k{x}_1}{x_1-2}+\frac{m}{x_1-2}+\frac{k{x}_2}{x_2-2}+\frac{m}{x_2-2}$

$-1=k\frac{2x_1{x}_2-2(x_1+x_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}+m\frac{x_1+x_2-4}{(x_1-2)(x_2-2)}$

像这样子把分子分割成小块，然后在分别相加，虽然也能得到全是含 $x_1{x}_2,x_1+x_2$ 的式子，但是更加复杂难算，且不能用到有一个点在椭圆上的化简技巧。

应该像这样做，分离常数，把常数分离出来：

$-1=\frac{k(x_1-2)+m+2k}{x_1-2}+\frac{k(x_2-2)+m+2k}{x_2-2}$

$-1=k+\frac{m+2k}{x_1-2}+k+\frac{m+2k}{x_2-2}$

$-1=2k+(m+2k)\frac{x_1+x_2-4}{(x_1-2)(x_2-2)}$

有一个点在椭圆上时，会有的计算技巧

如果一个点在椭圆上面，然后另外两个点也在椭圆上面，然后求两条直线的斜率之和 $k_1+k_2$ 时，

一定能写出这种式子 $4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4m^2-8}=0$，

然后这种式子的分子和分母一定能约分。这个约掉的，其实是不合题意的那么 m 值。 比如这里：

$4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4m^2-8}=0$

$=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m^2-2)}=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m+\sqrt{2})(m-\sqrt{2})}$

但如果 P 点不在椭圆上，就不一定能约分。 能约分的话，就好算一点。

点乘双根法

假设有 2 次函数 $f(x)=A{x}^2+Bx+C$

$f(x)$ 有 2 根 $x_1,x_2$

那么式子

$(x_1-x_0)(x_2-x_0)=x_1{x}_2-x_0(x_1+x_2)+x_0^2$

$=\frac{C}{A}+\frac{B{x}_0}{A}+x_0^2$

$=\frac{A{x}_0^2+B{x}_0+C}{A}$

$=\frac{f(x_0)}{A}$

如果遇到的是 $(x_1+x_0)(x_2+x_0)$ 这种式子，那么

$(x_1+x_0)(x_2+x_0)=\frac{f(-x_0)}{A}$