难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$|PF|=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x|+1$

$(x-1{)}^2+y^2=x^2+2|x|+1$

$y^2=2x+2|x|$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=0,x⩽0\\ y^2=4x,x>0\end{array}$

解（2）

设直线 $l:x=my+1$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,3x^2+4y^2-12=0\\ x=my+1,3(my+1{)}^2+4y^2-12=0\end{array}$

$(3m^2+4)y^2+6my-9=0$

$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{4\times 4\times 3(4+3m^2-1)}}{4+3m^2}=\frac{4\sqrt{3(3m^2+3)}}{3m^2+4}$

$|AB|=\sqrt{1+m^2}\frac{4\sqrt{9(m^2+1)}}{3m^2+4}=\frac{12(m^2+1)}{3m^2+4}$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my+1\end{array}$

$y^2-4(my+1)=0$

$y^2-4my-4=0$

$y_1+y_2=4m$$y_1{y}_2=-4$

$|y_1-y_2|=\sqrt{16m^2+16}$

$|MN|=\sqrt{1+m^2}\sqrt{16m^2+16}=4(m^2+1)$

$\frac{\lambda }{|AB|}-\frac{1}{|MN|}=\frac{(3m^2+4)\lambda }{12(m^2+1)}-\frac{3}{12(m^2+1)}$

$=\frac{3\lambda m^2+4\lambda -3}{12(m^2+1)}$

$3\lambda =4\lambda -3$

$\lambda =3$

TIP

一个分式是定值，那么分子分母的变量的系数比等于分子分母的常数项之比。