06 直线与圆习题课 (中档)

例题 1（斜截式）

过点 $A(4,1)$，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）。

解：

$A.4x-y=0\mathrm{或}x+y-5=0$

$B.x-4y=0\mathrm{或}x+y-5=0$

$C.x-4y=0\mathrm{或}x-y+3=0$

$D.x+y-5=0$

解：

有截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,(ab\ne 0)$

所以分情况，

当 $ab\ne 0$，

$\frac{4}{a}+\frac{1}{a}=1$

$\therefore a=5$

即 $\frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1⟺x+y-5=0$

当直线过原点，此时 $y=\frac{1}{4}x⟺x-4y=0$

所以答案选 $B.$

例题 2（距离问题）

已知点 $P(m,n)$ 是函数 $y=\sqrt{-x^2-2x}$ 图像上的动点，则 $|4m+3n-21|$ 的最小值是（）。

$A.25$

$B.21$

$C.20$

$D.4$

解：

$y=\sqrt{-x^2-2x}\ge 0$，所以需要保证 $y\ge 0$。

$y^2=-x^2-2x(y\ge 0)$

$(x+1{)}^2+y^2=1(y\ge 0)$

所以图像表示的是一个半圆。

我们知道直线 $4x+3y-21=0$ 到点 $P(m,n)$ 的距离为

$d=\frac{|4m+3n-21|}{\sqrt{16+9}}$

令 $|4m+3n-21|=t$

$t=5d$

所以求 $t$ 最小值就是求 $d$ 的最小值。

$d_{min}=\frac{|-4+0-21|}{\sqrt{25}}-1=\frac{25}{5}-1=4$

$\therefore t_{min}=5d_{min}=20$

所以选 $C.$

例题 3（结合韦达定理）

已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 交与点 $M,N$ 两点，

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=12$，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$。

解：

(1)

使用点斜式，表示直线 $l:y=kx+1$。

因为交于两点，所以

$x^2-4x+4+k^2{x}^2-4kx+4=1$

$(1+k^2)x^2-(4+4k)x+7=0$

$\mathrm{\Delta }=(4+4k{)}^2-28(1+k^2)>0$

$\therefore k\in (\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3})$

(2)

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$x_1{x}_2+y_1{y}_2=12$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{1+k^2}$

$x_1+x_2=\frac{4+4k}{1+k^2}$

$y_1=k{x}_1+1,y_2=k{x}_2+1$

$y_1{y}_2=k^2{x}_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1=\frac{7k^2}{1+k^2}+\frac{4k+4k^2}{1+k^2}+1$

$\therefore \frac{7+7k^2+4k+4k^2+1+k^2}{1+k^2}=\frac{12k^2+4k+8}{1+k^2}=12$

$4k+8=12$

$k=1$

所以直线 $y=x+1$ 过圆心，所以 $|MN|=2r=2$