01_基础知识

等比数列、等差数列对比

相似之处：

对于通项公式，

$a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d$（等差数列）

或

$a_n=a_1{q}^{n-1}=a_m{q}^{n-m}$

对于等差数列，$a_n$ 的角标 ${}_n$ 等于 (右边第几项的角标 + 公差的系数)

对于等比数列，$a_n$ 的角标 ${}_n$ 等于 (右边第几项的角标 + 公比的指数)

等差数列

1 基本公式

$a_n=a_1+(n-1)d$ 或 $a_n=a_m+(n-m)d$

若 $d>0$，则 $a_n$ 单调递增；

若 $d<0$，则 $a_n$ 单调递减。

2 求和的三个基本公式

（1）首末相加公式/梯形面积公式（最常用）

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

（2）由首末相加公式/梯形面积公式（可以由第一个推出）

$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$

（3）类二次函数公式（也是由第一个推出）

$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$

3 $\frac{S_n}{n}$ 为等差数列 $⟺$ $a_n$ 为等差数列；

$\frac{S_n}{n}=\frac{d}{2}n+(a_1-\frac{d}{2})$

$⟺$

$\frac{S_n}{n}$ 为等差数列，则 $a_n$ 为等差数列；

若 $a_n$ 为等差数列，则 $\frac{S_n}{n}$ 为等差数列。

4 等差中项公式

$m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$

三项同理。

据此也可推出等差中项：$a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n$

5 $S_n$ 首尾相加公式的推广

TIP

假设有 n 个连续的（公差为 1）数字已经排好序。那么这些数字的中间位置上，是哪个数字呢？

• 若 n 为奇数，那么 $\frac{n}{2}=\mathrm{实}\mathrm{际}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{数}\mathrm{字}-\frac{1}{2}$。（比如 1 2 3 4 5，$\frac{5}{2}=2.5$）
• 若 n 为偶数，那么 $\frac{n}{2}=\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{的}\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{数}\mathrm{字}-\frac{1}{2}$。（比如 1 2 3 4，$\frac{4}{2}=2$）

因此，不管 n 是奇数还是偶数，要求中间的数字，只需要公式 $\frac{n+1}{2}$。只不过 n 为偶数，中间数字实际上是不存在的。n 为奇数中间数字是存在的。

• 若 n 奇数，中间数字就是存在的。求法：$\frac{n+1}{2}$
• 若 n 为偶数，中间数字就是不存在的。求法：$\frac{n+1}{2}$

$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$。

例如 $S_5=5a_3$

$S_5=\frac{(a_1+a_5)5}{2}=\frac{2a_{3}5}{2}=5a_3$

$S_6=6a_{3.5}$ 奇偶都可以这么写。

6 图像

1

等差数列中，$S_n$ 的图像其实是一个二次函数。$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$。如下图：

2

若 $S_p=S_q$，则 $S_{p+q}=0$。

反过来同样适用：若 $S_{p+q}=0$，则 $S_p=S_q$。

为什么会这样呢？因为肯定有 $S_0=0$，所以 $S_n$ 的图像过原点。且如果 若 $S_p=S_q$，说明 $S_n$ 的图像在 $n>0$ 区间是一个二次函数，有两个解。

如下图所示，一根横线与二次函数（对称函数）相交的两个解 $x_1,x_2$ 与二次函数本身的两个根 $x_3,x_4$ 的关系：

（其实就是利用中点一样推出来的公式）

7 等差数列的求和公式 S_n 成等差数列

如果忘了，要会自己推出来：

或者用更形象的话来解释：一个等差数列的项分成连续的几组，每组的项数是相同的。称为 $T_1,T_2,T_3...$，那么 $T_1,T_2,T_3...$ 是等差数列。如下图：

例子：如下的 $T_1,T_2,T_3$ 成等差数列：

等比数列

0 基本公式

$a_n=a_1{q}^{n-1}$。同样，也是 $a_1$ 的下角标加上 公比 $q^{n-1}$ 的上角标，和等于 $a_n$ 的 $n$。

1 图像

2 等比数列求和公式

$S_n=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}$

重点关注 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 这个公式，其余可以推出。

记忆：

1. 首先分母是 $1-q$，而不是 $q-1$！（1 起手）
2. 其次分子也是有 $1-q$ 这个和分母有点像的构造，只不过 $q$ 公比上多了一个 $n$（对应 $S_n$ 的求和项数）。并且 $(1-q^n)$ 是括号起来的，外面有个 $a_1$ 首项。
3. 综上，等比数列的 $a_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

其它公式也就可以推出来了。

注意

等比数列求和求的是前 n 项和，对于不同公式，关注的点不一样。

比如最经典的公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^2)}{1-q}$ 关注的点只需要是

1. 首项
2. 项数（总共有连续的多少项）
3. 公比

这个公式不需要关注末项的值是多少以及末项的角标是多少。等差数列求和公式也是同理。

并且，若求和是从一个等比数列的第二项开始，那么求和的首项其实是 $a_2$。再知道需要求和多少项就可以了。

3 用来判断图像的公式

$S_n=\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}{q}^n$

$=C-C\cdot q^n$（只有从第一项开始就是等比数列时，才有 $C=C$）

4 等比中项

$m+n=p+q$，则 $a_m{a}_n=a_p{a}_q$

三项同理。

5 等比数列的求和公式 S_n 成等比数列

和等差数列的求和公式 $S_n$ 成等比数列差不多。

若忘了，要自己会推出来。