难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题对数均值不等式飘带函数齐次式消元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

函数 $f(x)=lnx-\frac{1}{x},g(x)=ax+b$

（I）若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增，求实数 a 的取值范围

（II）当 $b=0$ 时，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像有两个交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，试比较 $x_1{x}_2$ 与 $2e^2$ 的大小。（取 e 为 2.8，取 ln2 为 0.7，取 $\sqrt{2}$ 为 1.4）

解

第二问

$\{\begin{array}{l}ln\frac{x_1}{x_2}=a(x_1-x_2)+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\mathrm{①}\\ ln{x}_1{x}_2=a(x_1+x_2)+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\mathrm{②}\end{array}$

$⟹$

$ln\frac{x_1}{x_2}=(\frac{m{x}_1{x}_2}{x_1+x_2}-\frac{2}{x_1{x}_2})(x_1-x_2)$

观察这个式子，有积、有和、有商，但我们最终想要证明的是积。所以怎么把 $\frac{x_1}{x_2}$ 消掉呢？

设 $x_1>x_2$

又对数均值不等式得，（在考试中需要证明）

$ln\frac{x_1}{x_2}>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}(lnt>\frac{2(t-1)}{t+1},t>1)$

所以 $(\frac{ln{x}_1{x}_2}{x_1+x_2}-\frac{2}{x_1{x}_2})(x_1-x_2)>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}$

化简得，

$ln{x}_1{x}_2>\frac{2(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}+2$

到这里又来一次均值不等式

所以 $ln{x}_1{x}_2>\frac{2(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}+2>\frac{2\cdot 2\sqrt{x_1{x}_2}}{x_1{x}_2}+2$

即证 $ln{x}_1{x}_2>\frac{4}{\sqrt{x_1{x}_2}+2}$

设 $\sqrt{x_1{x}_2}=t,t?\sqrt{2}e$

$2lnt>\frac{4}{t}+2$

$H(t)=lnt-\frac{2}{t}-1>0$

求 $H(t)>0$ 的 t 的范围。

我们要比较 $t$ 和 $\sqrt{2}e$ 的大小。

$H(\sqrt{2}e)=ln\sqrt{2e}-\frac{2}{\sqrt{2}e-1}$

$=ln\sqrt{2}+1-\frac{\sqrt{2}}{e}-1$

$=\frac{1}{2}0.7-\frac{1.4}{2.8}$

$=0.35-0.5<0$

所以 $t>\sqrt{2e}$

所以 $x_1{x}_2>2e^2$