难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设切线 $l:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0$

$\mathrm{\Delta }4\times 4\times 1\times 1^2(4k^2+1-m^2)=0$

所以 $m^2=4k^2+1$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$

得出

$\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{2m}{1-2k}\\ y_M=\frac{m}{1-2k}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=-\frac{1}{2}x\end{array}$

得出

$\{\begin{array}{l}{x}_N=\frac{-2m}{1-2k}\\ y_N=\frac{m}{1+2k}\end{array}$

$S=\frac{1}{2}|m||x_M-x_N|$

$=\frac{1}{2}|m||\frac{2m}{1-2m}+\frac{2m}{1+2k}|$

$=|\frac{8k^2+2}{1-4k^2}|$

当 $k\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$S=\frac{2(4k^2-1)+4}{1-4k^2}$

$=-2+\frac{4}{1-4k^2}$

$1-4k^2\in (0,1]$

$\frac{4}{1-4k^2}\in [4,+\mathrm{\infty })$

$S\in [2,+\mathrm{\infty })$

$k\in (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$

$S=\frac{8k^2+2}{4k^2-1}$

$=\frac{2(4k^2-1)+4}{4k^2-1}$

$=2+\frac{4}{4k^2-1}$

$\frac{4}{4k^2-1}\in (0,\mathrm{\infty })$

所以 $S\in (2,+\mathrm{\infty })$

当 $k$ 不存在

$S=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$

综上，$S_{\mathrm{△}OMN}$ 的最小值为 2.

TIP

参考求三角形 OMN 的面积