05 方差知识补充 (新教材内容)

说说

求和符号的解释

$\sum _{i=2}^{99}{i}^2=2^2+3^2+4^2+...+{98}^2+{99}^2$

$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+...+a_n$

求和符号公式

$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^2=(a_1+b_1{)}^2+(a_2+b_2{)}^2+...+(a_n+b_n{)}^2$

$=\sum _{i=1}^n(a_i^2+b_i^2+2a_i{b}_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+\sum _{i=1}^n{b}_i^2+2\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

总体方差与样本方差

总体方差代表全部数据的方差，样本方差代表样本的方差。

一般我们都会用样本的方差来估计全部数据的方差。

方差公式：

$s^2=\frac{1}{N}\cdot (\sum _{i=1}^N(Y_i-\bar{Y}{)}^2)$

方差还有另外一个公式：（方差的加权公式）

比如有 $1,1,1,2,2,3,5,9$ 这 8 个数据，但是如果按种来算，只有 5 种数据。

$Y_1=1,f_1=3$

$Y_1=2,f_2=2$

$Y_3=1,f_3=1$

$Y_4=1,f_1=1$

$Y_5=1,f_1=1$

那么公式就有：

$s^2=\frac{1}{K}\sum _{i=1}^K{f}_i(Y_i-\bar{Y}{)}^2$

例题

解：

$s^2=\frac{1}{50}[\sum _{i=1}^{23}(x_i-\bar{Z}{)}^2+\sum _{i=1}^{27}(y_i-\bar{Z}{)}^2]$

$\because \sum _{i=1}^{23}(x_i-\bar{Z}{)}^2=\sum _{i=1}^{23}(x_i-\bar{x}+\bar{x}-\bar{z}{)}^2=\sum _{i=1}^{23}[(x_i-\bar{x}{)}^2+(\bar{x}-\bar{z}{)}^2+2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})]$

$=\sum _{i=1}^{23}(x_i-\bar{x}{)}^2+\sum _{i=1}^{23}(\bar{x}-\bar{z}{)}^2+2(\bar{x}-\bar{z})\sum _{i=1}^{23}(x_i-\bar{x})$

同理，女生的身高也是如此。

最后答案为 $51.4862$。