难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题角分线定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$b=6\sqrt{a^2+1}$

$b^2(a^2+1)=6$

$2a^2=4c^2$

$a^2=2c^2$

$b^2=a^2-c^2=c^2$

$c^2(2c^2+1)=36$

$C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

解（2）

设 $P(x_p,y_p)$

$Q(\frac{y_p}{k}+1,y_p),k^{\prime }=\frac{y_p}{x_p}$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$|AP|\cdot S_2=|BP|\cdot S_1$

能不能看得出来角平方线定理，还要看图画成什么样。下面就是没看出是角平分线定理的写法：

$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{|y_1-y_p|}{|y_2-y_p|}$

$AP=\sqrt{(x_1-x_p{)}^2+(y_1-y_p{)}^2}$

$BP=\sqrt{(x_2-x_p{)}^2+(y_2-y_p{)}^2}$

所以 $\frac{(x_1-x_p{)}^2+(y_1-y_p{)}^2}{(x_2-x_p{)}^2+(y_2-y_p{)}^2}=\frac{(y_p-y_1{)}^2}{(y_p-y_2{)}^2}$

$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$

$cb=ad$

$(\frac{y_1-y_p}{x_1-x_p}{)}^2=(\frac{y_2-y_p}{x_2-x_p}{)}^2$

所以 $k_{AP}=-k_{BP}$

$\frac{y_1-y_p}{x_1-x_p}+\frac{y_2-y_p}{x_2-x_p}=0$

$\frac{k(x_1-1)-y_p}{x_1-x_p}+\frac{k(x_2-1)-y_p}{x_2-x_p}=0$

$\frac{k(x_1-x_p)+k{x}_p-k-y_p}{x_1-x_p}+\frac{k(x_2-x_p)+k{x}_p-k-y_p}{x_2-x_p}=0$

$2k+(k{x}_p-k-y_p)\frac{x_1+x_2-2x_p}{(x_1-x_p)(x_2-x_p)}=0$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1,x^2+2y^2-8=0\\ y=kx-k,x^2+2(kx-k{)}^2-8=0\end{array}$

$(2k^2+1)x^2-4k^{2}x+2k^2-8=0$

$x_1+x_2=\frac{4k^2}{2k^2+1}$

$(x_1-x_p)(x_2-x_p)=\frac{2k^2{x}_p^2+x_p^2-4k^2{x}_p+2k^2-8}{2k^2+1}$

所以 $2k+(k{x}_p-k-y_p)\frac{4k^2-4k^2{x}_p-2x_p}{2k^2{x}_p^2+x_p^2-4k^2{x}_p+2k^2-8}$

$2k^2{x}_p^2+x_p^2-4k^2{x}_p+2k^2-8=2k^2{x}_p^2+8-2y_p^2-4k^2{x}_p+2k^2-8$

$=2k^2{x}_p^2-4k^2{x}_p-2y_p^2+2k^2$

$=2(k{x}_0-k-y_p)(k{x}_p-k+y_p)$

所以 $2k+\frac{4k^2-4k^2{x}_p-2x_p}{2(k{x}_p-k+y_p)}=0$

$2k+\frac{2k^2-2k^2{x}_p-x_p}{k{x}_p-k+y_p}=0$

$2k{y}_p=x_p$

$k{k}^{\prime }=\frac{k{y}_0}{x_p}=\frac{1}{2}$

椭圆上的动点斜率和问题

椭圆上的动点斜率和问题时最难的。

斜率和为零的问题，正设反设都可以分离常数，只不过反设需要取倒数。

注意：当一个点在椭圆上作两条直线求斜率和的时候，分离常数后的一步操作一定可以约分。

不分离常数，后面就算死了；

椭圆上任一点作两条直线的斜率和问题，最关键的一点，分离常数合并后的那一步，一定要约分！否则后面就算死了！