难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题仿射变换求四边形面积

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

连接 $F_{1}P$

$F_{1}P=MP$

$MP+P{F}_2=4$

$F_{1}P+P{F}_2=4$

所以 P 的轨迹是一个椭圆

$a=2,c=1$

$b^2=a^2-c^2=3$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）常规解法

设 $AC:x=m_{1}y-1$

$BD:x=m_{2}y+1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=m_{1}y-1\end{array}$

$(3m_1^2+4)y^2-6m_{1}y-9=0$

$|AC|=\sqrt{1+m_1^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m_1^2}\frac{\sqrt{4\times 4\times 3(3m_1^2+4-1)}}{4+3m_1^2}$

$=\sqrt{1+m_1^2}\frac{12\sqrt{m_1^2+1}}{4+3m_1^2}$

$=\frac{12(m_1^2+1)}{4+3m_1^2}$

因为 $k_1{k}_2=-\frac{3}{4}$，说明 AC, BD 两条直线的斜率一个为正，一个为负。且两条直线的交点一定在椭圆内，当 $k_1=\frac{\sqrt{3}}{2},k_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，两条直线的交点为 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，所以交点一直在椭圆内。

设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2),B(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$

D 点到 AC 的距离：

$d_1=\frac{|x_4-m_1{y}_4+1|}{\sqrt{m_1^2+1}}=\frac{|m_2{y}_4-m_1{y}_4+2|}{\sqrt{m_1^2+1}}$

B 点到 AC 的距离：

$d_2=\frac{|x_3-m_1{y}_3+1|}{\sqrt{m_1^2+1}}=\frac{|m_2{y}_3-m_1{y}_3+2|}{\sqrt{m_1^2+1}}$

$d_1+d_2=\frac{|m_2(y_4-y_3)+m_1(y_3-y_4)|}{\sqrt{m_1^2+1}}$

$=\frac{|m_2-m_1||y_4-y_3|}{\sqrt{m_1^2+1}}$

因为 $|y_4-y_3|=\frac{12\sqrt{m_2^2+1}}{4+3m_2^2}$

所以 $d_1+d_2=\frac{|m_2-m_1|}{\sqrt{m_1^2+1}}\frac{12\sqrt{m_2^2+1}}{4+3m_2^2}$（下标看清楚！）

因为 $k_1{k}_2=-\frac{3}{4},\frac{1}{m_1{m}_2}=-\frac{3}{4},m_1{m}_2=-\frac{4}{3}$

$m_2=-\frac{4}{3m_1}$

所以 $d_1+d_2=\frac{|\frac{4}{3m_1}+m_1|}{\sqrt{m_1^2+1}}\frac{12\sqrt{\frac{16}{9m_1^2}+1}}{4+3\frac{16}{9m_1^2}}$

$=\frac{4+3m_1^2}{3m_1\sqrt{m_1^2+1}}\frac{12\sqrt{16+9m_1^2}}{3m_1}\frac{1}{4+\frac{16}{3m_1^2}}$

$=\frac{4(4+3m_1^2)\sqrt{16+9m_1^2}}{(12m_1^2+16)\sqrt{m_1^2+1}}$

$S=\frac{1}{2}|AC|\cdot (d_1+d_2)=\frac{1}{2}\frac{12(m_1^2+1)}{4+3m_1^2}\frac{4(4+3m_1^2)\sqrt{16+9m_1^2}}{(12m_1^2+16)\sqrt{m_1^2+1}}$

$=\frac{6\sqrt{m_1^2+1}\cdot 4\sqrt{16+9m_1^2}}{12m_1^2+16}$

$=\frac{6\sqrt{m_1^2+1}\sqrt{16+9m_1^2}}{3m_1^2+4}$

$=6\sqrt{\frac{(m_1^2+1)(16+9m_1^2)}{(3m_1^2+4{)}^2}}$

$m_1\ne 0$

若求最值，则用 $\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}$

$ab⩽\frac{(a+b{)}^2}{4}$ + 待定系数法。

假设 $y(9m_1^2+16)(m_1^2+1)⩽(9+y)m_1^2+16+y$

要使分子分母的系数能约掉，则 $\frac{9+y}{16+y}=\frac{3}{4}$

$y=12$

所以 $S=6\sqrt{\frac{\frac{1}{12}\times (9m_1^2+16)(12m_1^2+12)}{(3m_1^2+4{)}^2}}$

$⩽6\sqrt{\frac{1}{12}\frac{1}{(3m_1^2+4{)}^2}\frac{1}{4}(21m_1^2+28{)}^2}$

$=6\sqrt{\frac{1}{48}49}$

$=7\sqrt{\frac{36}{48}}=7\sqrt{\frac{6}{8}}=7\frac{3}{4}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$

但这里求的不是最值，而是范围。

令 $3m_1^2+4=t,t>4$

$S=6\sqrt{\frac{(3t+4)(\frac{t}{3}-\frac{1}{3})}{t^2}}$

$=6\sqrt{\frac{(3t+4)(t-1)}{3t^2}}$

$=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3t^2+t-4}{t^2}}$

$=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{3+\frac{1}{t}-\frac{4}{t^2}}$

令 $\frac{1}{t}=m,m\in (0,\frac{1}{4})$

$S=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{-4m^2+m+3}$

$-\frac{1}{-8}=\frac{1}{8}$

$S_{min}=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{3}=6$

$S_{max}=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{-4\cdot \frac{1}{64}+\frac{1}{8}+3}$

$=\frac{6}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{49}{16}}$

$=\frac{7\sqrt{3}}{2}$

解（2）仿射变换

TIP

当对角线不是互相垂直时，当斜率之积为一个定值时，那么也能做，也能求四边形的面积。

将四边形分割成两个三角形，把公共底求出来，然后用点到直线的距离公式算高。

TIP

一条直线 $y=kx+m$ 隔开两个点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$（点不在直线上）

A 点到直线的距离为 $d_1=\frac{|k{x}_1-y_1+m|}{\sqrt{k^2+1}}$

B 点到直线的距离为 $d_2=\frac{|k{x}_2-y_2+m|}{\sqrt{k^2+1}}$

那么一定有 $(k{x}_1-y_1+m)(k{x}_2-y_2+m)<0$

且

$d_1+d_2=\frac{|k{x}_1-y_1-(k{x}_2-y_2)|}{\sqrt{k^2+1}}$

TIP

遇到这种 $\frac{(9m_1^2+16)(m_1^2+1)}{(3m_1^2+4{)}^2}$ 4 次比 4 次的式子取最大值，

可以使用均值不等式 $\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}$ 待定系数法来求。

什么是仿射变换？什么情况下用放射变换？

对于一个在平面直角坐标系中的图形，

如果它的 x 轴坐标值伸缩 a 倍，那么新方程为原方程中的 x 替换为 $\frac{x}{a}$ 。

如果它的 y 轴坐标伸缩 b 倍，那么新方程为原方程中的 y 替换为 $\frac{y}{b}$。

证明：

假设对 y 轴伸缩 a 倍，那么新的点为 $(x,ay)$，

令 $x^{\prime }=x,y^{\prime }=ay$

那么 $x=x^{\prime },y=\frac{y^{\prime }}{a}$，代入原方程即是上诉所说的新图像方程。

举例：

有单位圆 $x^2+y^2=1$，将 x 轴伸缩 a 倍，y 轴伸缩 b 倍后，得到的新图像方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

性质：

伸缩（仿射变换）后，不变的为

1. 平行关系
2. 相切关系
3. 比例关系

变的为

1. 垂直关系会变
2. 斜率会变。新的直线斜率 $k^{\prime }$ 为原来直线斜率的 $\frac{b}{a}$ 倍。即 $k^{\prime }=\frac{b}{a}k$。 若 $k_1{k}_2=-1$，经过伸缩后，$k_1^{\prime }{k}_2^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}{k}_1{k}_2$

因为 $k=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$，所以 x、y 分别经过 a、b 倍伸缩后，新斜率就等于 $k^{\prime }=\frac{b\mathrm{\Delta }y}{a\mathrm{\Delta }x}=\frac{b}{a}k$

3. 面积会变。新的面积变为原来的 $a\cdot b$ 倍。即 $S^{\prime }=abS$

就根据一个直角三角形，底边伸缩 a 倍，高 伸缩 b 倍，那么 $S^{\prime }=abS$

什么时候用放射变换？

当看到 $k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$ 时，用仿射变换。