难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(x\ne 2\mathrm{且}x\ne -2)$

解（2）

设 $E(t,0),Q(4,y_Q)$

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$k_{QM}=\frac{y_1-y_Q}{x_1-4}$

$k_{QE}=\frac{y_Q}{4-t}$

$k_{QN}=\frac{y_2-y_Q}{x_2-4}$

$\frac{2y_Q}{4-t}=\frac{y_1-y_Q}{x_1-4}+\frac{y_2-y_Q}{x_2-4}$

设直线 $MN:y=k(x-t)=kx-kt$

若直接分离常数，后面是约分不了的，而且还有个未知数 $y_Q$，化简不了……

$\frac{2y_Q}{4-t}=\frac{k{x}_1-kt-y_Q}{x_1-4}+\frac{k{x}_2-kt-y_Q}{x_2-4}$

$\frac{2y_Q}{4-t}=\frac{k(x_1-4)+4k-kt-y_Q}{x_1-4}+\frac{k(x_2-4)+4k-kt-y_Q}{x_2-4}$

$=2k+(4k-kt-y_Q)[\frac{x_1+x_2-8}{(x_1-4)(x_2-4)}]$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx-kt\end{array}$

$(3+4k^2)x^2-8k^{2}tx+4k^2{t}^2-12=0$

$x_1+x_2=\frac{8k^{2}t}{3+4k^2}$

$(x_1-4)(x_2-4)=64k^2-32k^{2}t+4k^2{t}^2+36$

$\frac{2y_Q}{4-t}=2k+(4k-kt-y_Q)\frac{8k^{2}t-24-32k^2}{4(16k^2-8k^{2}t+k^2{t}^2+9)}$

……

应该这样做：

$\frac{2y_Q}{4-t}=\frac{y_1}{x_1-4}-\frac{y_Q}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}-\frac{y_Q}{x_2-4}$

$\frac{2y_Q}{4-t}+y_Q[\frac{x_1+x_2-8}{(x_1-4)(x_2-4)}]=\frac{y_1}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}$

$y_Q[\frac{2}{4-t}+\frac{x_1+x_2-8}{(x_1-4)(x_2-4)}]=\frac{y_1}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}$

因为对任意的 $y_Q$，都有等式成立

所以 $\frac{2}{4-t}+\frac{x_1+x_2-8}{(x_1-4)(x_2-4)}=0$

且 $\frac{y_1}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}=0$（其实用这个式子算 t 简单一些）

$\frac{x_1+x_2-8}{(x_1-4)(x_2-4)}=\frac{4(k^{2}t-4k^2-3)}{64k^2-32k^{2}t+4k^2{t}^2+360=\frac{1}{t-4}}$

$\frac{k^{2}t-4k^2-3}{16k^2-8k^{2}t+k^2{t}^2+9}=\frac{1}{t-4}$

$\frac{k^{2}t-4k^2-3}{16k^2-8k^{2}t+k^2{t}^2+9=k^2{t}^2-4k^{2}t-3t-4k^{2}t+16k^2+12}$

$9+3t=12$

$t=1$

所以 $E(1,0)$

TIP

之所以选择将 $y_Q$ 单独放在一起，令其系数为 0。是因为 Q 点不在椭圆上，所以后面分离常数、统一变量后是不能约分的。

后面算起来会很麻烦。

TIP

因为 Q 点不在椭圆上，所以后面分离常数、统一变量后是不能约分的。

TIP

不随变量变化而变化，就是恒成立。

如果是整式恒成立，就是令整式的系数为 0。