01 空间向量与坐标运算

说说

怎么画空间坐标轴？遵循右手法则，将右手握成拳，大拇指指向 $z$ 轴，然后按照握拳的方向依次画 $x,y$ 轴。

假如有向量 $\overrightarrow{a}=(x_0,y_0,z_0)$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$

平面向量与空间向量

空间向量和性质和平面向量有许多相似之处。

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2)$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2)$

$\overrightarrow{b}\ne 0,\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}⟺\mathrm{\exists }\lambda \in R,\lambda \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$

$cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$

假设有点 $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),\mathrm{那}\mathrm{么}\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

证明三点共线

证明 $A,B,C$ 三点共线。

$\mathrm{\exists }\lambda \in R,\mathrm{使}\mathrm{得}\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$

证明四点共面

证明 $A,B,C,D$ 四点共面。

$\mathrm{\exists }x,y\in R,\mathrm{使}\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$ 则说明 $A,B,C,D$ 共面。

例题

例题 1

两个异面直线的夹角大小范围

两个异面直线的夹角一定是锐角或直角。

解：

$B(1,1,0),E_1(1,\frac{3}{4},1),D(0,0,0),F_1(0,\frac{1}{4},1)$

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{B{E}_1}=(0,-\frac{1}{4},1)$

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{D{F}_1}=(0,\frac{1}{4},1)$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\theta$

$cos\theta =|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}|$

$=\frac{|0-\frac{1}{16}+1|}{\sqrt{(-\frac{1}{4}{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{(\frac{1}{4}{)}^2+1^2}}=\frac{\frac{15}{16}}{\frac{\sqrt{1}7}{4}\cdot \frac{\sqrt{1}7}{4}}=\frac{15}{17}$