13 题型技巧课：卫星追及相遇问题

题型特征

从第一次相距最近到下一次最近/最远
冲日问题

追及相遇

只有轨道不同，角速度不同才能追，不会真的相遇。相遇指距离最近。

距离最近

距离最远

冲日问题

当地球恰好运行到某“地外行星”和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”。

本质：地球与高轨天体的距离最近问题。

做题结论

地外行星的 r 越大，角速度越小，地球越好追到它。

当地外行星半径与地球的半径之比大于 5 时（地外行星的 r 是地球 r 的 5 倍多），慢天体看成静止，追及时间约等于 1 年。

推导

设地球的周期为 $T_{1}$ ，地外行星的周期为 $T_{2}$ （ $T_{1} < T_{2}$ ）

有

$(\frac{2 π}{T_{1}} - \frac{2 π}{T_{2}}) t = 2 π$

两次冲日的间隔时间为 $t = \frac{T_{1} T_{2}}{T_{2} - T_{1}} = \frac{T_{1}}{1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}}$

根据开普勒第三定律， $\frac{r_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{r_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{\frac{3}{2}}$

当 $\frac{r_{2}}{r_{1}} > 5$ 时， $\frac{r_{1}}{r_{2}} < \frac{1}{5}$

所以 $\frac{T_{1}}{T_{2}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{\frac{3}{2}} < 0.1$

所以 $t = \frac{T_{1}}{1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}} \approx T_{1} = 1 年$ （1 年多一点点）

例题

题 1

解

$(ω_{A} - ω_{B}) t = 2 π$

$(\frac{2 π}{T_{1}} - \frac{2 π}{T_{2}}) t = 2 π$

$(\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}) t = 1$

$\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{t}$

$\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{t} = \frac{1}{T_{2}} = \frac{t - T_{1}}{t T_{1}}$

$T_{2} = \frac{t T_{1}}{t - T_{1}}$

$B$

题 2

解

$(\frac{2 π}{T_{1}} - \frac{2 π}{T_{2}}) t = 2 π$

$(\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}) t = 1$

$t = \frac{T_{1} T_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

若是相距最远，则 $(\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}) t = \frac{1}{2}$

$t = \frac{T_{1} T_{2}}{2 (T_{2} - T_{1})}$

$B D$

题 3

注意！

注意地球绕太阳运行的周期为 1 年！

解

$K = \frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{r^{3}}{T^{2}}$

$r = \sqrt[3]{K T^{2}}$

$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \sqrt[3]{\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}}$

根据 $\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} N = 1$ ，注意单位是年。

注意有一个隐藏条件， $T_{1} = 1$ ，如果没有想到这个隐藏条件，那么将算不出 $\frac{T_{2}}{T_{1}}$ 的比值，也就得不出答案。

所以 $(1 - \frac{1}{T_{2}}) N = 1$

$T_{2} = \frac{N}{N - 1}$

$\frac{r_{2}}{r_{1}} = (\frac{N}{N - 1})^{\frac{2}{3}}$

题 4

解

A，火星的半径为地球的 1.5 倍，远不及 5 倍。所以追赶的时间肯定大于 1 年。所以不是每年都会有。错。

B 木星的半径为地球的 5.2 倍，所以地球追赶时间大约为 1 年多一点点，所以对。

C 这两个星的半径都是地球的 5 倍之多，所以追赶时间大差不差，不是一半，错。

D 海王星的半径最长，它跑的最慢，地球最容易追上，正确。

$B D$

不可接受的解法

题 5

解

根据“高轨低速大周期”，

A 错。

B 对。

$\frac{r_{火}^{3}}{T_{火}^{2}} = \frac{r_{地}^{3}}{T_{地}^{2}}$

$\frac{T_{火}}{T_{地}} = (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$

C 错。

D 半径是地球的 5 倍多，追击时间为 1 年多一点。因为火星半径是地球的 1.5 倍，所以肯定超过 1 年，错。

$B$

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率