难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-a(x-1)-xlnx$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$.

（1）求 $a$ 的范围；

（2）当 $0<a⩽1-ln2$ 时，证明：$a+\frac{1}{2}<f(x_1)+f(x_2)<1$

解（1）

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-a(x-1)-xlnx(x>0)$

$f^{\prime }(x)=x-a-lnx-1$

$f(x)$ 有 2 个极值点

$⟺$

$f^{\prime }(x)=0$ 有 2 个解

在这里没有选择分参数，是因为不分参也能求出 $a$ 的范围。

并且由于后面需要分析 $f^{\prime }(x)$ 的正负来描出 $f(x)$ 的大致图像，所以这里没有选择分离参数。

可以分离参数，后面的时候再求一次 $f^{\prime }(x)$，描绘出 $f(x)$ 图像

$f^{\prime \prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

所以 $0<x<1,f^{\prime \prime }(x)<0,f^{\prime }(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime \prime }(x)>0,f^{\prime }(x)\uparrow$

$x\to 0,f^{\prime }(x)\to +\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to +\mathrm{\infty }$

$f^{\prime }(x{)}_{min}=f^{\prime }(1)=-a$

所以 $-a<0$

$a>0$

解（2）

证明 $a+\frac{1}{2}<f(x_1)+f(x_2)<1$

不能像下面这样将 $x_1,x_2$ 代入 $f(x)$ 展开。

$f(x_1)+f(x_2)=\frac{1}{2}{x}_1^2-a(x_1-1)-x_{1}ln{x}_1+\frac{1}{2}{x}_2^2-a(x_2-1)-x_{2}ln{x}_2$

因为展开后的一大堆式子化简不了。$x_1,x_2$ 不能用伟大定理表示出关系，像这种，就需要用到放缩了；用到极值点偏移的思想。

由（1）知，

$0<x_1<1<x_2$

$\{\begin{array}{l}{x}_1-ln{x}_1-1=a\\ x_2-ln{x}_2-1=a\end{array}$

可以观察到 $f(1)=\frac{1}{2}$

所以证明 $a+\frac{1}{2}<f(x_1)+f(x_2)$

即证 $a+f(1)<f(x_1)+f(x_2)$

因为 $f(x_1)>f(1)$

所以只需要证 $a<f(x_2)$

在这里 $f(x_2)$ 是极小值，不能再进行放缩了

$a<\frac{1}{2}{x}_2^2-a{x}_2+a-x_{2}ln{x}_2$

$0<\frac{1}{2}{x}_2^2-a{x}_2-x_{2}ln{x}_2$

$0<\frac{1}{2}{x}_2^2-x_2(x_2-ln{x}_2-1)-x_{2}ln{x}_2$

$0<-\frac{1}{2}{x}_2^2+x_2$

$0<x_2(-\frac{1}{2}{x}_2+1)$

又因为 $f^{\prime }(1)=0$

$f^{\prime }(2)=1-ln2-a⩾0$

所以 $1<x_2<2$

所以 $0<x_2(-\frac{1}{2}{x}_2+1)$

所以 $a+\frac{1}{2}<f(x_1)+f(x_2)$

接下来证明 $f(x_1)+f(x_2)<1$

我们观察 $f(x)$ 的图像，可以发现

$f(x_1)>f(1)>f(x_2)$

且 $(0,x_1),f(x)\uparrow$

$(x_1,x_2),f(x)\downarrow$

$(x_2,2),f(x)\uparrow$

因为 $f(x_1)$ 是极大值，$f(x_2)$ 是极小值，所以选择将 $f(x_2)$ 放大。

如果将 $f(x_2)$ 放大为 $f(x_1)$，显然就放太大了。所以这里根据极值点偏移的思想，

$0<x_1<1$

那么 $1<2-x_1<2$

那么 $f(2-x_1)⩾f(x_2)$

那么即证

$f(x_1)+f(x_2)⩽f(x_1)+f(2-x_1)<1,(0<x_1<1)$

令 $F(x)=f(x)+f(2-x),0<x<1$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(2-x)$

$=x-a-lnx-1-2+x+a+ln(2-x)+1$

$=2x-2-lnx+ln(2-x)$

$F^{\prime \prime }=2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}$

$=\frac{2x^2-4x-x+2+x}{x(x-2)}$

$=\frac{2x^2-4x+2}{x(x-2)}$

$=\frac{2(x-1{)}^2}{x(x-2)}<0$

所以 $F^{\prime }(x)\downarrow$

所以 $F^{\prime }(x)>F^{\prime }(1)=0$

$F(x)\uparrow ,F(x)<F(1)=1$

证毕。