难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题点斜式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=a^x(a>0,a\ne 1)$ 在点 $A(x_1,f(x_1))$ 处的切线为 $l_1:y=k_{1}x+b_1$，函数 $g(x)=lo{g}_{a}x(a>0,a\ne 1)$ 在点 $B(x_2,g(x_2))$ 处的切线为 $l_2:y=k_{2}x+b_2$

（1）若 $l_1,l_2$ 均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系；

（2）当 $a=e$ 时，若 $l_2//l_2$，此时 $b_1-b_2$ 的最大值记为 $m$，证明：$3-ln2<m<\frac{5}{2}$

解（1）

$f(x)=a^x$

$g(x)=lo{g}_{a}x$

$f^{\prime }(x)=a^{x}lna$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{xlna}$

对于 $l_1:y=a^{x_1}lna(x-x_1)+a^{x_1}$

对于 $l_2:y=\frac{1}{x_{2}lna}(x-x_2)+lo{g}_a{x}_2$

$l_1$ 和 $l_2$ 都过 $(0,0)$，所以

$0=a^{x_1}lna(-x_1)+a^{x_1}$

$x_{1}lna=1$

$a^{x_1}=e$

$0=\frac{1}{x_{2}lna}(-x_2)+lo{g}_a{x}_2$

$\frac{1}{lna}=lo{g}_a{x}_2$

$\frac{1}{lna}=\frac{ln{x}_2}{lna}$

$x_2=e$

所以 $k_1=a^{x_1}lna=elna$

$k_2=\frac{1}{x_{2}lna}=\frac{1}{elna}$

$k_1\cdot k_2=1$

解（2）

当 $a=e$

$f(x)=e^x,f^{\prime }(x)=e^x$

$g(x)=lnx,g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

$l_1:y=e^{x_1}(x-x_1)+e^{x_1}=e^{x_1}x-e^{x_1}{x}_1+e^{x_1}$

$l_2:y=\frac{1}{x_2}(x-x_2)+ln{x}_2=\frac{1}{x_2}x-1+ln{x}_2$

$e^{x_1}=\frac{1}{x_2}$

$b_1=e^{x_1}-x_1{e}^{x_1}$

$b_2=ln{x}_2-1$

$m=e^{x_1}-x_1{e}^{x_1}-ln{x}_2+1$

也可以将 $e^x$ 换掉，变为 $lnx$，这样后面的求导更简单一点

$=e^{x_1}(1-x_1)+ln\frac{1}{x_2}+1$

$=e^{x_1}(1-x_1)+x_1+1(x_1\in R)$

令 $h(x)=e^x(1-x)+x+1(x\in R)$

$h^{\prime }(x)=e^x(1-x)+e^x(-1)+1$

$=-x{e}^x+1$

$h^{\prime \prime }=-(e^x+x{e}^x)$

$=-e^x(1+x)$

所以 $(-\mathrm{\infty },-1)h^{\prime }(x)\uparrow$

$(-1,+\mathrm{\infty })h^{\prime }(x)\downarrow$

$x\to -\mathrm{\infty },h^{\prime }(x)\to 0$

$x\to +\mathrm{\infty },h^{\prime }(x)\to -\mathrm{\infty }$

$h^{\prime }(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\sqrt{e}+1\approx -0.8+1>0$

$h^{\prime }(1)<0$

所以有零点 $x_0\in (\frac{1}{2},1)$，满足

$h^{\prime }(x_0)=0$

$x_0{e}^{x_0}=1$

$x<x_0,h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$x>x_0,h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$h(x{)}_{max}=h(x_0)=e^{x_0}(1-x_0)+x_0+1$

要证明大于某个数，因为 $h(x_0)$ 已经是最大值，所以它大于其它的函数值是天经地义的。比如我们带 $ln2$ 进去，

$h(ln2)=3-ln2$

而 $h^{\prime }(ln2)=-2ln2+1=1-ln4<0$

所以 $x_0\in (\frac{1}{2},ln2)$

所以 $h(x_0)>h(ln2)=3-ln2$

左边证明成功。

$h^{\prime }(x_0)=\frac{1}{x_0}(1-x_0)+x_0+1$

$=\frac{1}{x_0}+x_0$（$x_0\in (\frac{1}{2},ln2)$）

所以 $h(x_0)<h(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$

证毕。

第二题补充

要证明大于某个数，因为 $h(x_0)$ 已经是最大值，所以它大于其它的函数值是天经地义的。比如我们带 $ln2$ 进去，

$h(ln2)=3-ln2$

而 $h^{\prime }(ln2)=-2ln2+1=1-ln4<0$

所以 $x_0\in (\frac{1}{2},ln2)$

所以 $h(x_0)>h(ln2)=3-ln2$。

接下来证明 $h(x_0)$ 小于某个值，这时，一般就需要使用到极值点的隐零点方程，

对原函数的一些超越函数进行替换，变成一个新函数，求这个新函数的最大值是多少。

TIP

最大值是个范围，说明最大值一定是个函数，确定的极值点求不出来，只能用极值点的零点方程代换，然后求一个范围。