难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$c=2$

$tan\theta =\frac{b}{a},OA=a$

$AB=atan2\theta$

$OB=\frac{a}{cos2\theta }$

$a+\frac{a}{cos2\theta }=\sqrt{3}atan2\theta$

$1+\frac{1}{cos2\theta }=\sqrt{3}tan2\theta$

$\frac{cos2\theta +1}{cos2\theta }=\frac{\sqrt{3}sin2\theta }{cos2\theta }$

$cos2\theta +1=2co{s}^2\theta =2\sqrt{3}sin\theta cos\theta$

$cos\theta =\sqrt{3}sin\theta$

$tan\theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$

$b=1,a=\sqrt{3}$

$\frac{x^2}{3}-y^2=1$

TIP

当我们做渐近线有关的题时，要充分利用角关系，二倍角关系，利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式来解题。

且我们要知道双曲线的焦点 F 到渐近线的距离为 b。

可以先算出 $tan\theta$（角），再算 $a,b$

解（2）（用余弦定理、向量来表达条件更简洁、不易出错）

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),M(t,0)$

$|MP{|}^2=(x_1-t{)}^2+y_1^2$

$|MQ{|}^2=(x_2-t{)}^2+y_2^2$

$|PQ{|}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$

$\mathrm{式}\mathrm{子}=x_1^2+y_1^2-2x_{1}t+t^2+x_2^2+y_2^2-2x_{2}t+t^2-[x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2+y_1^2+y_2^2-2y_1{y}_2]$

$=-2t(x_1+x_2)+2x_1{x}_2+2y_1{y}_2+2t^2$

设直线 $l:x=my+2$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}-y^2=1,x^2-3y^2-3=0\\ x=my+2,(my+2{)}^2-3y^2-3=0,y=\frac{x-2}{m}\end{array}$

$(m^2-3)y^2+4my+1=0$

$y_1{y}_2=\frac{1}{m^2-3}$

$y_1+y_2=\frac{-4m}{m^2-3}$

$x_1+x_2=m(y_1+y_2)+4=\frac{-12}{m^2-3}$

$x_1{x}_2=\frac{-3\frac{4}{m^2}-3}{1-\frac{3}{m^2}}=\frac{-12-3m^2}{m^2-3}$

$\mathrm{式}\mathrm{子}=\frac{-2t\cdot (-12)}{m^2-3}+\frac{-24-6m^2}{m^2-3}+\frac{2}{m^2-3}+2t^2$

$=\frac{24t-6m^2-22+2t^2{m}^2-6t^2}{m^2-3}$

$=\frac{(2t^2-6)m^2-6t^2+24t-22}{m^2-3}$

$2t^2-6=\frac{-6t^2+24t-22}{-3}$

$-6t^2+18=-6t^2+24t-22$

$24t=40$

$t=\frac{5}{3}$

$M(\frac{5}{3},0)$

$\mathrm{定}\mathrm{值}=\frac{50}{9}-6=-\frac{4}{9}$