难度： 中等

标签： 导数问题恒成立问题

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

若函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2ax+lnx$ 存在垂直于 $y$ 轴的切线，则实数 a 的取值范围是___.

解

很容易写出来的错误解法

$f^{\prime }(x)=x-2a+\frac{1}{x}=0,x>0$

$x^2-2ax+1=0,x>0$

$\mathrm{\Delta }=4a^2-4⩾0$

$a^2⩾1$

$a\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$

错误原因

我们要想使用 $\mathrm{\Delta }⩾0$ 判别式法，必须要满足定义域 $x\in R$，但题目的定义域只能是 $(0,+\mathrm{\infty })$！所以这时还使用判别式法就是错误的，会使结果的范围比正确结果偏大！

正确解法

$f^{\prime }(x)=x-2a+\frac{1}{x}=0,x>0$

$2a=x+\frac{1}{x}⩾2,x>0$，当 $x=1$ 时取等。

所以 $a⩾1$

$a\in [1,+\mathrm{\infty })$