难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题三角形的四心切点弦方程阿基米德三角形弦长公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$t=4,\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

$AM=AN$，所以 AMN 是等腰直角三角形，且关于 x 轴对称

$l_{AM}:x=y-2$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=y-2\end{array}$

$7y^2-12y=0$

$y_M=\frac{12}{7}$

所以 $y_N=-\frac{12}{7}$

$x_M=\frac{12}{7}-2=-\frac{2}{7}$

$|MN|=\frac{24}{7}$

$h=-\frac{2}{7}+2=\frac{12}{7}$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{24}{7}\times \frac{12}{7}$

$=\frac{144}{49}$

解（2）

设 $l_{AB}:x=m_{1}y-\sqrt{t},m_1=\frac{1}{k}$

$l_{AN}:x=m_{2}y-\sqrt{t},m_2=-k$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=m_{1}y-\sqrt{t}\end{array}$

$(3m_1^2+t)y^2-6m_1\sqrt{t}y+3t-1=0$

$0+y_M=\frac{6m_1\sqrt{t}}{3m_1^2+t}=\frac{\frac{1}{k}6\sqrt{t}}{\frac{3}{k^2}+t}=\frac{6k\sqrt{t}}{3+t{k}^2}$

同理，$0+y_N=\frac{6m_2\sqrt{t}}{3m_2^2+t}=\frac{-6k\sqrt{t}}{3k^2+t}$

$2|AM|=|AN|$

$2\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}{y}_M=-\sqrt{1+k^2}{y}_N$

$2y_M\sqrt{\frac{1+k^2}{k^2}}=-\sqrt{1+k^2}{y}_N$

$\frac{2y_M}{k}=-y_N$

$\frac{2}{k}\frac{6k\sqrt{t}}{3+t{k}^2}=\frac{6k\sqrt{t}}{3k^2+t}$

$6k^2+2t=3k+t{k}^3$

$(k^3-2)t=6k^2-3k,(k\ne \sqrt[3]{2})$

$t=\frac{6k^2-3k}{k^3-2}>3$

注意这里不能直接将分母乘过去，因为不知道正负号！所以需要作减法。

$0>3-\frac{6k^2-3k}{k^3-2}$

$0>\frac{3k^3-6k^2+3k-6}{k^3-2}$

$\frac{3k(k^2+1)-6(k^2+1)}{k^3-2}<0$

$\frac{(3k-6)(k^2+1)}{k^3-2}<0$

$\frac{3(k-2)}{k^3-2}<0$

$(k-2)(k^3-2)<0$

所以 $\sqrt[3]{2}<k<2$

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