难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题隐零点代换长除法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=1-\frac{a{x}^2}{e^x},a\ne 0$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）但 $x>0,a>0$ 时，$e^{x}f(x)⩾bx$，证明 $ab⩽\frac{2e^3}{27}$

解（1）

$f^{\prime }(x)=-a[\frac{2x{e}^x-x^2{e}^x}{e^{2x}}]$

$=-a\frac{2x-x^2}{e^x}=-a\frac{x(x-2)}{e^x}$

一、$a>0$

$x<0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$0<x<2,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>2,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

二、$a<0$

$x<0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$0<x<2,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>2,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

解（2）

$x>0,a>0,e^x-a{x}^2-bx⩾0$

$\frac{e^x}{x}-ax-b⩾0$

令 $g(x)=\frac{e^x}{x}-ax-b$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}-a$

$g^{\prime \prime }=\frac{x^2{e}^x-2x{e}^x(x-1)}{x^4}$

$=\frac{x^2{e}^x-2e^x(x-1)}{x^3}$

$=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$

$\mathrm{\Delta }=4-8=-8<0$

所以 $g^{\prime \prime }>0$

$g^{\prime }(x)\uparrow$

$x\to 0,g^{\prime }(x)\to -\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },g^{\prime }(x)\to +\mathrm{\infty }$

所以 $g^{\prime }(x)$ 存在唯一零点

使得 $\frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0^2}=a$

$0<x<x_0,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>x_0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(x{)}_{min}=g(x_0)=\frac{e^{x_0}}{x_0}-a{x}_0-b⩾0$

$b⩽\frac{e^{x_0}}{x_0}-a{x}_0$

$ab⩽(\frac{e^{x_0)}}{x_0}-\frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0})e^{\frac{x_0(x_0-1)}{x_0^2}}⩽\frac{2e^3}{27}$

$\frac{e^{x_0}(2-x_0)}{x_0}\cdot \frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0^2}⩽\frac{2e^3}{27}$

$\frac{e^{2x_0}(-x_0^2+3x_0-2)}{x_0^3}⩽\frac{2e^3}{27}$

令 $h(x)=\frac{e^{2x}(-x^2+3x-2)}{x^3}(x>1)$

$h^{\prime }(x)=\frac{[2e^{2x}(-x^2+3x-2)+e^{2x}(-2x+3)]x^3-3x^2[e^{2x}(-x^2+3x-2)]}{x^6}$

$=\frac{e^{2x}(-2x^3+7x^2-10x+6)}{x^4}$

$=\frac{e^{2x}(x-\frac{3}{2})(-2x^2+4x-4)}{x^4}$

$\mathrm{\Delta }=16-32<0$

$0<x<\frac{3}{2},h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$x>\frac{3}{2},h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$h(x{)}_{max}=h(\frac{3}{2})=\frac{2e^3}{27}$

所以证毕。

TIP

遇到这种双参问题，双参的乘积小于某个数，老老实实求单调性、求导。

长除法

长除法的本质就是配凑。

几次项的和几次项相除。