08 三角函数的一般形式及其性质

说说

对于 $y=Asin(\omega x+\phi )+B$，

或者 $y=cos(\omega x+\phi )+B$

• A，称为振幅，用来控制函数的最大和最小值
• $\omega$ 用来控制函数的周期。$T=\frac{2\pi }{\omega }$
• $\phi$ 用来控制函数的左右平移
• B 用来控制函数的上下移动

而对于正切 $y=Atan(\omega x+\phi )+B$，

它的周期为 $T=\frac{\pi }{\omega }$

例题

例题 1

证明 $y=sin2x$ 的周期为 $\pi$。

解：

$f(x)=y=sin2x=sin2(x+\pi )=sin(2x+2\pi )=f(x+\pi )$

即 $f(x)=f(x+\pi )$

所以得证。

例题 2

求 $y=2sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3})+3$ 的周期、值域、单调性。

解：

周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$

令 $\alpha =\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}$

$\mathrm{原}\mathrm{式}=2sin\alpha +3$

$sin\alpha \in [-1,1]$

所以值域为 $[1,5]$

单调性：

当 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \alpha \le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，函数单调递增。

即是 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，函数单调递增。

即 $-\frac{5}{3}\pi +4k\pi \le x\le \frac{\pi }{3}+4k\pi$ 时，函数单调递增。

所以单调增区间为 $[-\frac{5}{3}\pi +4k\pi ,\frac{\pi }{3}+4k\pi ](k\in Z)$

例题 3

求 $y=tan(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3})$ 的周期、定义域和单调性。

解：

$T=\frac{\pi }{\frac{\pi }{2}}=2$

定义域：

令 $\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}=\alpha$

$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$

$\therefore \frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

$x|x\ne \frac{1}{3}+2k,k\in Z$

单调性：

$-\frac{\pi }{2}+k\pi <\alpha <\frac{\pi }{2}+k\pi$

$-\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+k\pi$

$-\frac{5}{3}\pi +2k<x<\frac{1}{3}+2k$