难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x-\frac{1}{2}a{x}^2-2ax$，其中 $a\in R$

（1）若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

（2）若函数 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$，当 $x_1+x_2\in [3ln2-4,\frac{5-3e}{e-1}]$ 时，求 $\frac{x_2+2}{x_1+2}$ 的取值范围。

解（1）

$f(x)=e^x-\frac{1}{2}a{x}^2-2ax$

$f^{\prime }(x)=e^x-ax-2a$

$f^{\prime }(x)⩾0,x⩾0$

$e^x-a(x+2)⩾0,x⩾0$

$a⩽\frac{e^x}{x+2},x⩾0$

令 $g(x)=\frac{e^x}{x+2}$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^x(x+2)-e^x}{(x+2{)}^2}=\frac{e^x(x+1)}{(x+2{)}^2}>0$

所以 $g(x)\uparrow$

$g(x{)}_{min}=g(0)=\frac{1}{2}$

所以 $a⩽\frac{1}{2}$

解（2）

$\{\begin{array}{l}a=\frac{e^{x_1}}{x_1+2}\\ a=\frac{e^{x_2}}{x_2+2}\end{array}$

$\frac{e^{x_1}}{x_1+2}=\frac{e^{x_2}}{x_2+2}$

$x_1-ln(x_1+2)=x_2-ln(x_2+2)$

$ln(x_2+2)-ln(x_1+2)=x_2-x_1$

$ln\frac{x_2+2}{x_1+2}=x_2-x_1=(x_2+2)-(x_1+2)$

令 $\frac{x_2+2}{x_1+2}=t,t>1$

$x_2+2=(x_1+2)t$

$lnt=(x_1+2)(t-1)$

$x_1+2=\frac{lnt}{t-1},x_2+2=\frac{tlnt}{t-1}$

$x_1+x_2+4=\frac{(t+1)lnt}{t-1}$

$x_1+x_2=\frac{(t+1)lnt}{t-1}-4\in [3ln2-4,\frac{5-3e}{e-1}]$

令 $h(t)=\frac{(t+1)lnt}{t-1}-4$

在这里，$h(t)$ 可以不化简为下面一行。

因为化简后求得的导数会更难算出其单调性。

$=lnt+\frac{2lnt}{t-1}-4$

$h^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+2\frac{\frac{1}{t}(t-1)-lnt}{(t-1{)}^2}$

$=\frac{t^2-2t+1+2-\frac{2}{t}-2lnt}{t(t-1{)}^2}$

$=\frac{t^2-2t-\frac{2}{t}-2lnt+3}{t(t-1{)}^2}$

令 $\phi (t)=t^2-2t-\frac{2}{t}-2lnt+3,t>1$

${\phi }^{\prime }(t)=2t-2+\frac{2}{t^2}-\frac{2}{t}$

$=\frac{2t^3-2t^2+2-2t}{t^2}$

$=\frac{2(t^3-t^2-t+1)}{t^2}$

$=\frac{2(t-1{)}^2(t+1)}{t^2}>0$

所以 $\phi (t)\uparrow ,\phi (t)>\phi (1)=1$

所以 $h^{\prime }(t)>0,h(t)\uparrow$

所以 $t=\frac{x_2+2}{x_1+2}\in [2,e]$

解（2）法二

通过

$\{\begin{array}{l}a=\frac{e^{x_1}}{x_1+2}\\ a=\frac{e^{x_2}}{x_2+2}\end{array}$

令 $\frac{x_2+2}{x_1+2}=t$，

这三个式子，将 $x_1,x_2$ 都用 $t$ 来表示，

因为我们知道了 $x_1+x_2$ 的值域，所以可以反求出来 $t$ 的范围，而 $t$ 的范围就是 $\frac{x_2+2}{x_1+2}$ 的范围。

TIP

对于 $f(t)=\frac{(t+1)lnt}{t-1}$

$f(x)=\frac{x}{lnx}$

$f(x)=\frac{lnx}{x}$

$f(x)=xlnx$

这类函数，可以不遵循“对数单身狗”原则，因为它们的导函数比较好看出单调性。

比如，

对于

$f(x)=\frac{x}{lnx}$

$f^{\prime }(x)=\frac{lnx-1}{(lnx{)}^2}$

对于

$f(t)=\frac{(t+1)lnt}{t-1}$

$f^{\prime }(t)=\frac{(lnt+\frac{t+1}{t})(t-1)-(t+1)lnt}{(t-1{)}^2}$

$=\frac{(lnt+\frac{1}{t}+1)(t-1)-tlnt-lnt}{(t-1{)}^2}$

$=\frac{tlnt-lnt+t-1+1-\frac{1}{t}-tlnt-lnt}{(t-1{)}^2}$

$=\frac{-2lnt+t-\frac{1}{t}}{(t-1{)}^2}$

只需再令 $g(t)=-2lnt+t-\frac{1}{t}$

求出 $g^{\prime }(t)=-\frac{2}{t}+1+\frac{1}{t^2}=\frac{t^2-2t+1}{t^2}=\frac{(t-1{)}^2}{t^2}>0$

TIP

三个方程，三个未知数，两个方程，可以用其中一个未知数将另外 2 个未知数表示出来。

比如

$\{\begin{array}{l}a=\frac{e^{x_1}}{x_1+2}\\ a=\frac{e^{x_2}}{x_2+2}\\ \frac{x_2+2}{x_1+2}=t\end{array}$

$⟺$

$\{\begin{array}{l}\frac{e^{x_1}}{x_1+2}=\frac{e^{x_2}}{x_2+2}\\ \frac{x_2+2}{x_1+2}=t\end{array}$

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