难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题非对称韦达定理垂径定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

连接 $A_{1}B$

因为 $D$ 是 BC 中点，且 BC 是圆 $A_1$ 的弦，所以根据垂径定理，$A_{1}D\perp BC$

因为 $PE//A_{1}D$

$PE\perp BC$

连接 $A_{2}P$，因为 $E$ 是 $A_{2}C$ 的中点，所以 $A_{2}PC$ 是等腰三角形；

所以 $PC=A_{2}P$

所以 $A_{1}P+PC=r=A_{1}P+A_{2}P=4$

所以 $P$ 的轨迹是一个椭圆，$a=2$

$2c=2,c=1$

$b^2=a^2-c^2=4-1=3$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

1 问

一般看起来比较难的圆锥曲线第一问，且求轨迹方程，通过几何关系来寻找突破口。

一般第一问求轨迹，轨迹多半是双曲线、椭圆，所以紧抓椭圆、双曲线的定义，两个焦点的和或差为定值，找定点，通过几何关系入手。

1 问

如果第 1 问通过设点，用点坐标来表示 P 点，再通过联立方程韦达消元，还不好化简，求不出来。

所以圆锥曲线第 1 问 97% 的概率不会联立方程使用韦达定理。

解（2）

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2);B_1(-2,0),B_2(2,0);Q(x_Q,y_Q)$

$k_{M{B}_1}=k_{Q{B}_1}$

$\frac{y_1}{x_1+2}=\frac{y_Q}{x_Q+2}$

$k_{Q{B}_2}=k_{N{B}_2}$

$\frac{y_Q}{x_Q-2}=\frac{y_2}{x_2-2}$

设 $x=my-1$

$\frac{x_1+2}{y_1}=\frac{x_Q+2}{y_Q}$

$\frac{m{y}_1+1}{y_1}=\frac{x_Q+2}{y_Q}=m+\frac{1}{y_1}$

$\frac{x_2-2}{y_2}=\frac{x_Q-2}{y_Q}=\frac{m{y}_2-3}{y_2}=m-\frac{3}{y_2}$

所以 $-3\frac{x_Q+2}{y_Q}=-3m-\frac{3}{y_1}$

所以 $-3\frac{x_Q+2}{y_Q}+\frac{x_Q-2}{y_Q}=-2m-\frac{3}{y_2}-\frac{3}{y_1}$

$\frac{-2x_Q-8}{y_Q}=-2m-\frac{3}{y_2}-\frac{3}{y_1}$

$\frac{2x_Q+8}{y_Q}=2m+\frac{3}{y_2}+\frac{3}{y_1}$

$=2m+3\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}$

$y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4}$

$y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4}$

$\frac{2x_Q+8}{y_Q}=2m+3\frac{6m}{-9}$

$=2m+(-2m)=0$

$x_Q=-4$

所以 ③ 是对的，

$S_{\mathrm{△}Q{C}_1{C}_2}=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$

非对称韦达定理处理办法

乘系数，来达到对称。