01 椭圆的定义

引出

椭圆的本质就是椭圆上的点到两个焦点的距离的和是一个定值。

椭圆的第一定义，假设有两个焦点 $F_1,F_2$，$M$ 是椭圆上的某一点。

$|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a$

如何在坐标系中表示椭圆的方程呢？

把椭圆的焦点所在的直线作为 $x$ 轴，两个焦点的垂直平分线作为 $y$ 轴，把焦点设为 $(-c,0),(c,0)$，椭圆上的点设为 $M(x,y)$，椭圆上的点到两个焦点的距离的和设为 $2a$，那么可以得出关系：

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$

$\sqrt{x^2+2cx+c^2+y^2}=2a-\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$

$x^2+2cx+c^2+y^2=x^2-2cx+c^2+y^2+4a^2-4a\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$

$4cx-4a^2=-4a\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$

$cx-a^2=-a\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$

$c^2{x}^2-2a^{c}x+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)$

$(c^2-a^2)x^2+a^4=a^2{c}^2+a^2{y}^2$

我们有等式 $a^2=b^2+c^2$

$-b^2{x}^2+a^4=a^2{c}^2+a^2{y}^2$

$-b^2{x}^2+a^4=a^4-a^2{b}^2+a^2{y}^2$

$-b^2{x}^2=-a^2{b}^2+a^2{y}^2$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2+a^2{y}^2$

$1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},(a>b,c)$

由此我们可得椭圆的方程为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b,c)$

椭圆与 $x$ 轴的交点分别为 $(-a,0)$ 和 $(a,0)$，这两个点连起来的线段叫做椭圆的长轴，长度为 $2a$。还有长半轴，长度为一半。

与 $y$ 轴的交点分别为 $(0,-b)$ 和 $(0,b)$，这两个点连起来的线段叫做椭圆的短轴，长度为 $2b$。还有短半轴，长度为一半。

两个焦点之间的距离称为焦距，长度为 $2c$。半焦距就是焦距的一般，长度为 $c$。

TIP

椭圆中，长半轴长 $a$ 一定大于半焦距或短半轴长，$a>b\mathrm{或}a>c$，

但 $b,c$ 关系不确定，可能 $b>c$，也可能 $c>b$

长轴在 y 轴上

如果椭圆的长轴在 $y$ 轴上，方程有什么变化呢？

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1,(a>b,c)$

可以发现，长轴在 $x$ 轴上，那么就用 $x^2$ 除以 $a^2$；如果在 $y$ 轴上，那么就用 $y^2$ 除以 $a^2$。

离心率

离心率的公式为 $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$。（这里的 $c$ 叫做半焦距）

离心率可以理解为离圆的形状的差距，离心率越大，椭圆越扁，越不像圆；离心率越小，椭圆越像圆。

趁热练习

求 $16x^2+25y^2=400$ 的长轴长、短轴长、焦距、离心率。

解：

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

所以 $a=5,b=4,c=3$

所以长轴长 $=2a=10$

短轴长 $=2b=8$

焦距 $=2c=6$

离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$