04 同角三角函数的基本关系

说说

第一个式子

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

如果画一个单位圆（半径为 1 的圆），那么 $sin\alpha ,cos\alpha ,tan\alpha$ 就可以像如下这样子表示。

由此我们得出 $x^2+y^2=1$

也就是说 $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$。

或者我们可以换一种方式证明这个式子：

因为 $sin\alpha =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

带入也能证明 $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$。

第二个式子

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },cos\alpha \ne 0，\mathrm{即}\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

例题

例题 1

TIP

通过这个例题，我们可以知道当知道了一个角的正弦值（余弦值），那么就可以求出这个角的余弦值（正弦值），和 $tan$。并且有时候答案可能会有多个，需要分情况作答。

已知 $sin\alpha =-\frac{3}{5}$，求 $cos\alpha ,tan\alpha$。

解：

由公式 $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ 可得，

$cos\alpha =\pm \sqrt{1-si{n}^2\alpha }$

分情况，

1，当 $\alpha$ 是第三象限角

$cos\alpha =-\sqrt{1-(-\frac{3}{5}{)}^2}=-\sqrt{\frac{25-9}{25}}=-\frac{4}{5}$

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$

2，当 $\alpha$ 是第四象限角

$cos\alpha =\frac{4}{5}$

$tan\alpha =-\frac{3}{4}$

例题 2

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$sinA\cdot cosA=-\frac{1}{8}$，则 $cosA-sinA$ 的值为（）。

解题思路

我们可以观察到题目条件 $sinA\cdot cosA=-\frac{1}{8}$ 是一个二次的式子（一次乘以一次为二次），而我们要求的 $cosA-sinA$ 为一次，所以我们想到了将 $cosA-sinA$ 升次，变为和条件相同的次数。

解：

$(cosA-sinA{)}^2=co{s}^{2}A+si{n}^{2}A-2sinA\cdot cosA$

$=1-2sinA\cdot cosA$

$=1-2\cdot (-\frac{1}{8})=\frac{5}{4}$

又因为 $sinA\cdot cosA=-\frac{1}{8}$，

所以我们可知 $\frac{\pi }{2}<A<\pi$

$\therefore \{\begin{array}{l}cosA<0\\ sinA>0\end{array}$

所以 $cosA-sinA=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

例题 3

若 $tan\theta =2$，则 $2si{n}^2\theta -3sin\theta cos\theta =()$

解题思路

我们可以观察到条件 $tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }=2$ 是一个 0 次式子（一次除以一次，变为 0 次）。、

而我们要求的 $2si{n}^2\theta -3sin\theta cos\theta =()$ 是一个二次式子，

所以我们想到将其降为 0 次，通过 $\frac{\mathrm{二}\mathrm{次}}{\mathrm{二}\mathrm{次}}$ 可以得到 0 次的式子。

解：

$2si{n}^2\theta -3sin\theta cos\theta =\frac{2si{n}^2\theta -3sin\theta cos\theta }{si{n}^{\theta }+co{s}^2\theta }$

$=\frac{2\cdot \frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }-3\cdot \frac{sin\theta cos\theta }{co{s}^2\theta }}{\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+1}$

$=\frac{2\cdot 2^2-3\cdot 2}{2^2+1}=\frac{2}{5}$