难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $a>b,c>d$，且 $e^a-a=e^b-b=1.01,\frac{e^c}{c{e}^c+1}=\frac{e^d}{d{e}^d+1}=0.99$，则下列说法正确的个数有（）个

$\mathrm{①}0<a<\frac{1}{2}$

$\mathrm{②}a+b<0$

$\mathrm{③}a+d<0$

$\mathrm{④}b+c>0$

$A.1$

$B.2$

$C.3$

$D.4$

解

不难发现，题目中其实包含两个函数，

设 $f(x)=e^x-x,g(x)=\frac{e^x}{x{e}^x+1}$

一、证明 $\mathrm{①}$

$f(x)=e^x-x$

$f^{\prime }(x)=e^x-1$

$在 $(-\mathrm{\infty },0)f(x)\downarrow ,(0,+\mathrm{\infty })f(x)\uparrow$

$f(0)=1$

$f(\frac{1}{2})=\sqrt{e}-0.5\approx 1.6\mathrm{几}-0.5\approx 1.1\mathrm{几}$

而 $f(a)=1.01<1.1\mathrm{几}$

所以 $0<a<\frac{1}{2}$

二、证明 $\mathrm{②}$

这里有两种办法，

1 是根据图像看极值点的偏移方向。

2 是移项构造函数证明。

3 不能用对数均值不等式、比值换元证明。

1. 根据图像

$f(x)=e^x-x$

从 $0$ 到 $-\mathrm{\infty }$，$e^x\to 0$，所以在 $(-\mathrm{\infty },0)f(x)$ 的图像趋近于 $-x$ 的图像

从 $0$ 到 $+\mathrm{\infty }$，$e^x\to +\mathrm{\infty }$，所以在 $(0,+\mathrm{\infty })f(x)$ 的图像趋近于 $e^x$ 的图像，指数爆炸式的上升。

所以“那边陡极值点往哪边偏”，显然右边 $(0,+\mathrm{\infty })$ 更陡，所以极值点往右边偏，$a,b$ 的中点在极值点的左边，所以 $a+b<0$

2. 移项构造函数证明

如果要严谨的证明，使用此方法。

要证 $a+b<0$

即证 $b<-a<0$

即证 $f(a)=f(b)<f(-a)(0<a<\frac{1}{2})$

$e^a-a>e^{-a}+a$

令 $\phi (x)=e^x-e^{-x}-2x(0<x<\frac{1}{2})$

${\phi }^{\prime }(x)=e^x+e^{-x}-2>2\sqrt{1}-2=0$

所以 $\phi (x)\uparrow$

$\phi (x)>\phi (0)=0$

证毕

3. 不能用对数均值不等式、比值换元证明。

如果要严谨证明，只能移项证明，不能用比值换元证明！！

由此得出结论，证明极值点偏移，移项证明法比比值换元法更通用。

三、证明 $\mathrm{③}$

$f(x)=e^x-x$

$g(x)=\frac{e^x}{x{e}^x+1}$

$f(-x)=e^{-x}+x$

$\frac{1}{f(-x)}=\frac{1}{e^{-x}+x}=\frac{e^x}{x{e}^x+1}=g(x)$

所以自变量为相反数时，函数互为倒数。

证 $a+d<0$

即证 $0<a<-d$

之所以放在 $f(x)$ 里，是因为形式更简单一点

即证 $f(x)<f(-d)=\frac{1}{g(d)}$

$e^a-a<\frac{1}{\frac{e^d}{d{e}^d+1}}$

$1.01<\frac{1}{0.99}\approx 1.0101$

显然成立，所以 $\mathrm{③}$ 正确。

四、证明 $\mathrm{④}$

证明 $b+c>0$

即证 $0>b>-c$

$f(b)<f(-c)=\frac{1}{g(c)}$

$e^b-b<\frac{1}{\frac{e^d}{d{e}^d+1}}$

$1.01<\frac{1}{0.99}\approx 0.101010$

显然成立。

证毕，

选 $D$

TIP

${1.6}^2=2.56$

${1.7}^2=2.89$

$\sqrt{e}\approx 1.6\mathrm{几}$

TIP

$(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$

TIP

证明极值点偏移，移项证明法比比值换元法可能会麻烦一点，但更通用。