难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=ax+cosx(0⩽x⩽\pi ,a\in R)$.

（1）当 $a=\frac{1}{2}$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；

（2）若函数 $f(x)$ 恰有两个极值点，即极大值和极小值分别为 $m,n$，求 $2m-n$ 的取值范围。

解

（1）

$a=\frac{1}{2}$

$f(x)=\frac{1}{2}x+cosx(0⩽x⩽\pi )$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-sinx$

$f^{\prime }(x)=0,x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

所以 $x\in [0,\frac{\pi }{6}]\cup [\frac{5\pi }{6},\pi ],f^{\prime }(x)⩾0,f(x)\uparrow$

（2）

$f(x)=ax+cosx(0⩽x⩽\pi )$

$f^{\prime }(x)=a-sinx$

因为 $f(x)$ 恰有两个极值点 $x_1,x_2$，设 $x_1<x_2$，所以

$0⩽a<1$

$0⩽x_1<\frac{\pi }{2}<x_2⩽\pi$

$x_1+x_2=\pi$

$f(x)$ 在 $(0,x_1)\uparrow ,(x_1,x_2)\downarrow ,(x_2,\pi )\uparrow$

$a=sin{x}_1$

$a=sin{x}_2$

$m=a{x}_1+cos{x}_1$

$n=a{x}_2+cos{x}_2$

$2m-n=2a{x}_1+2cos{x}_1-a{x}_2-cos{x}_2$

$2m-n=2a{x}_1+2cos{x}_1-a(\pi -x_1)+cos{x}_1$

$=3a{x}_1+3cos{x}_1-a\pi$

$=3x_{1}sin{x}_1+3cos{x}_1-\pi sin{x}_1$

令 $h(x)=3x_{1}sin{x}_1+3cos{x}_1-\pi sin{x}_1(0⩽x<\frac{\pi }{2})$

$h^{\prime }(x)=3sinx+3xcosx-3sinx-\pi cosx$

$=(3x-\pi )cosx$

所以 $0<x<\frac{\pi }{3},h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2},h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$h(x)⩾(\frac{\pi }{3})=\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}-\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$

$h(x)⩽h(0)=3$

$h(x)<h(\frac{\pi }{2})=\frac{3\pi }{2}-\pi =\frac{\pi }{2}$

所以 $\frac{3}{2}⩽h(x)⩽3$

$\frac{3}{2}⩽2m-n⩽3$

TIP

$sinx$ 是对称轴函数，有 $x_1+x_2=\pi$ 这个关系