03_常用的乘法公式

(两数的和或差) 的 (平方或立方或四方) 公式

两数的和或差的平方公式

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

两数的和或差的立方公式

两数的和的立方公式

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

记忆技巧 1

使用二项式定理。

两数的差的立方公式

记忆技巧

使用二项式定理。

两数差立方公式和两数和立方公式差不多。

$(a-b{)}^3=a^3-3a^2+3a{b}^2-b^3$

(几次方) 的 (和或差公式)

两次方（平方）的差公式

先平方（$a^2$，$b^2$），后差（$a^2-b^2$），所以叫平方差公式。

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

三次方的差或和公式

先立方，再差或和。这个就需要硬记一下了。

三次方的差公式

三次方的差公式比三次方的和公式更常用。

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

三次方的和公式

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

TIP

然而没有 $a^2+b^2$ 的公式。

例题

1

已知 $a=1996x+1995$，$b=1996x+1996$，$c=1996x+1997$，那么 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ 的值为（）.

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

TIP

• 式子同乘一个系数，配凑
• 平方差公式、差的平方公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

解

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca}{2}$

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{2}$，

由题知， $a-b=-1,b-c=-1,c-a=2$，所以

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1+1+4}{2}=3$

所以这题选 C。

2

已知 $x\ne 0$，且 $M=(x^2+2x+1)(x^2-2x+1)$，$N=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$，则 M 与 N 的大小关系为（）。

（A）M > N（B）M < N（C）M = N（D）无法确定

TIP

• 特殊值法
• 将因式变成有很多项的多项式

解

优先使用带入法。其次的方法：

$M=(x^2+2x+1)(x^2-2x+1)=(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$

根据平方差公式，得出

$M=(x^2+1{)}^2-(2x{)}^2=x^4+2x^2+1-4x^2=x^4-2x^2+1$

同理，将 N 的值进行变换

$N=(x^2+1+x)(x^2+1-x)=(x^2+1{)}^2-x^2=x^4+x^2+1$

$M-N=-3x^2<0$

所以 N > M.

二刷自我反问

这道题很难？

1. 代入法
2. 想把式子化简，把括号去掉。那么使用平方差公式，可以简便计算，不用乘三项。
   • 就算没想那么多，硬着头皮算其实也差不多。
   • 最后再利用减法来看两者谁大谁小。
   • 或者说，有时候数学并不总是技巧，还有可能就是蛮力，看谁力气大。

二刷

3

已知 $x^2-3x+1=0$，求 $x^3+\frac{1}{x^3}$ 的值。

TIP

• 三次方的乘法公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• 两个互为倒数的和的平方，等于这两个数各自的平方的和再加一个常数，利用这点可以消去未知数

解

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})$

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})((x+\frac{1}{x}{)}^2-3)$

因为 $x^2-3x+1=0$，

所以 $x+\frac{1}{x}=3$，

所以

$x^3+\frac{1}{x^3}=3\times (3^2-3)=18$

二刷，也可以使用一的代换。

TIP

$x^n\pm \frac{1}{x^n}$ 类似这种函数，有个特点，乘以 $(x+\frac{1}{x})$ 可以进行升次，让奇数放变为偶数方。且会产生常数项。

因为 $x^n\times \frac{1}{x^n}=1$