03 等差数列习题课

说说

$\{\begin{array}{l}{a}_n=a_1+(n-1)d\\ S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\ S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}\\ S_n=n[a_1+\frac{n-1}{2}d]\end{array}$

TIP

注意等差数列 $S_n$ 三个公式的变形！！

例题 1

在等差数列 $a_n$ 中若 $a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=120$ ，则 $a_{10}-\frac{2}{3}{a}_{11}$ 的值为（）

$A.6$

$B.8$

$C.10$

$D.16$

解：

$B.$

例题 2

已知数列 $a_n$ 满足：$a_1=2,a_n=2-\frac{9}{a_{n-1}+4}(n>1)$，记 $b_n=\frac{1}{a_n+1}$

(1) 求证：数列 $b_n$ 等差数列；

(2) 求 $a_n$

解：

$a_n+1=\frac{1}{b_n}$

$a_n=\frac{1}{b_n}-1$

$\frac{1}{b_n}-1=2-\frac{9}{\frac{1}{b_{n-1}+3}}$

$\frac{1}{b_n}=3-\frac{9b_{n-1}}{1+3b_{n-1}}=\frac{3}{1+3b_{n-1}}$

$b_n=\frac{1+3b_{n-1}}{3}=\frac{1}{3}+b_{n-1}$

$b_n-b_{n-1}=\frac{1}{3}=d(n>1)$

即证。

(2)

$b_1=\frac{1}{a_1+1}=\frac{1}{3}$

$b_n=\frac{1}{3}+(n-1)\frac{1}{3}=\frac{n}{3}$

例题 3

已知等差数列 $a_n$ 的前 n 项和为 $S_n$ ，若 $a_{2020}>0$，且 $a_{2019}+a_{2020}<0$，则满足 $S_n>0$ 的最小正整数 n 的值为（）

$A.2019$

$B.2020$

$C.4039$

$D.4040$

解：

由题意得 $a_{2020}>0$而 $a_{2019}+a_{2020}<0$，所以我们可以判断，d 是正数，$a_1$ 是一个负数。而 $Sn=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$一定满足 $a_{2020}+a_{2021}>0$即 $a_1+a_{4040}>0$所以答案选 D.

我们需要使用等差数列求和公式的第三个变形 $S_n=n(a_1+\frac{n-1}{2}d)$

$S_{4039}=n(a_1+\frac{4039-1}{2}d)$

$=n(a_1+2019d)=n{a}_{2020}>0$

所以答案选 C.