06 考点 - 累加法题型一网打净 (中档)

解题方法

之前我们讲了等差等比数列，但是有一类题，它并不是等差数列或等比数列。

而是一般的数列。那这类数列该怎么去求它的通项公式 $b_n$ 呢？

其中有一个方法就是累加法

累加法

等差数列

等差数列满足 $a_n=a_{n-1}+d$

所以 $a_n-a_{n-1}=d$

我们一直写下去，可得

$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n-1}=d\\ a_{n-1}-a_{n-2}=d\\ a_{n-2}-a_{n-3}=d\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_2-a_1=d\end{array}$

接下来我们将左边相加，右边相加，得到

$a_n-a_1=(n-1)d$

所以 $a_n=a_1+(n-1)d$

不是等差数列

有数列关系

$a_n=a_{n-1}+2n-1,n\ge 2$

TIP

如果题目给出的是 $a_{n+1}=a_n+2n+1$，我们最好给它变成 $a_n=a_{n-1}+2n-1$ 的形式。

使用累加法，

$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n-1}=2n-1\\ a_{n-1}-a_{n-2}=2n-3\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_2-a_1=2\times 2-1=3\end{array}$

左右两边同时相加，得

$a_n-a_1=\frac{(n-1)(3+2n-1)}{2}$

$a_n-a_1=n^2-1$

令 $a_1=1$

则 $a_n=n^2$

遇到指数也可以

遇见 $a_{n+1}=a_n+c{n}^2+an+b$ 这类题型，都可以使用累加法。

但如果等式右边有指数比如 $a_{n+1}=a_n+2\cdot 3^n+1$，还能用累加法吗？依然可以！

$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n-1}=2\cdot 3^{n-1}+1\\ ...\\ a_2-a_1=2\cdot 3^1+1\end{array}$

$a_n-a_1=2(3^1+3^2+...+3^{n-1})+n-1$

使用等比数列求和公式：

$=2\cdot \frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}+n-1$

$=3^n+n-1$

系数不是 1

如果遇到 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 前面的系数不一样，这类题型该怎么做呢？

比如 $a_{n+1}=3a_n+2\cdot 3^n+1$

TIP

如果式子变为 $a_{n+1}=2a_n+2\cdot 3^n+1$，那么就做不出来了。因为除后两边都不是对称的式子。

两边同除 $3^{n+1}$，得

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3^{n+1}}$

令 $b_n=\frac{a_n}{3^n}$

所以 $b_{n+1}=b_n+\frac{2}{3}+(\frac{1}{3}{)}^{n+1}$

$\{\begin{array}{l}{b}_n-b_{n-1}=\frac{2}{3}+(\frac{1}{3}{)}^n\\ ...\\ ...\\ b_2-b_1=\frac{2}{3}-{\frac{(1}{3)}}^2\end{array}$

$b_n-b_1=\frac{2(n-1)}{3}+(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^3+...+(\frac{1}{3}{)}^n$

$=\frac{2(n-1)}{3}+\frac{[1-(\frac{1}{3}{)}^{n-1}]}{6}$

$b_n=\frac{2}{3}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^n}$

$a_n=3^n\cdot b_n=2\cdot 3^{n-1}n+\frac{3^n}{2}-\frac{1}{2}$