难度： 困难

标签： 导数问题放缩未知极值点问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=m{e}^x-lnx-1$

（1）当 $m=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $1,f(1)$ 处的切线方程

（2）当 $m⩾1$ 时，证明 $f(x)>1$

解

第一问

$y=(e-1)x$

第二问

利用放缩法证明

经过分析，得出

$m{e}^x-lnx-1⩾e^x-lnx-1\ge (x+1)-lnx-1⩾(lnx+1)-lnx=1,m⩾1,x>0$

所以经过简单的放缩，我们即可证明。下面开始证明：

要证 $m{e}^x-lnx-1>1,m⩾1$

即证 $e^x-lnx-1>1$

令 $g(x)=e^x-x-1$

$g^{\prime }(x)=e^x-1$

$g^{\prime }(0)=0$

$g(x)>g(0)=0$

所以 $e^x>x+1,x>0$

所以即证 $e^x-lnx-1>x-lnx⩾1,x>0$

令 $h(x)=x-lnx-1,x>0$

$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

$h^{\prime }(1)=0$

所以 $h(x)⩾h(1)=0$

所以 $x⩾lnx+1$

所以 $e^x-lnx-1>x-lnx⩾1,x>0$，

问题得证。

利用求导证明，处理未知极值点的方法解决问题

证明 $m{e}^x-lnx-2>0$

令 $g(x)=m{e}^x-lnx-2$

$g^{\prime }(x)=m{e}^x-\frac{1}{x}=\frac{mx{e}^x-1}{x}$

先不看分母，看分子。当 x 趋近于 0 时，分子为负数。当 $x=1$ 时，分子为正数。

所以存在 $x_0\in (0,1)$，使得 $m{x}_0{e}^{x_0}=1$

在 $x\in (0,x_0)$ 时，$g^{\prime }(x)<0,g(x)$ 单调递增

在 $x\in (x_0,+\mathrm{\infty })$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单调递减

$g(x)⩾(x_0)=m{e}^{x_0}-ln{x}_0-2$

$=\frac{1}{x_0}+x_0+lnm-2$

因为 $x_0\ne 1$

所以 $g(x)>2+lnm-2=lnm⩾0$

所以 $g(x)>0$

所以题目得证。