难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+ax-(ax+1)lnx$.

（1）若 $f(x)$ 恰有三个不同的极值点 $x_1,x_2,x_3(x_1<x_2<x_3)$，求实数 $a$ 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：$\mathrm{①}{x}_1{x}_2{x}_3=1;\mathrm{②}{x}_1+x_2+x_3>3(a-1)$

解（1）

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+ax-(ax+1)lnx(x>0)$

$f^{\prime }(x)=x+a-[alnx+\frac{ax+1}{x}]$

$=x+a-alnx-a-\frac{1}{x}$

$=x-alnx-\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(x)=0$ 有 3 个解。

$f^{\prime \prime }(x)=1-\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}$

$=\frac{x^2-ax+1}{x^2}$

令 $g(x)=x^2-ax+1$

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4⩽0$，即 $-2⩽a⩽2$ 时，

$g(x)⩾0,f^{\prime \prime }(x)⩾0,f^{\prime }(x)\uparrow$ 此时 $f^{\prime }(x)$ 最多有一个零点，不符题意。

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4>0$，即 $a<-2$ 或 $a>2$ 时，

$x_4{x}_5=1,x_4+x_5=a$

所以 $x_4,x_5$ 同号。

1）当 $a<-2$

$x_4+x_5<0$

$x_4<0,x_5<0$

所以 $x>0$ 时，$g(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0,f^{\prime }(x)\uparrow$，此时 $f^{\prime }(x)$ 最多 1 个零点，不符题意。

2）当 $a>2$

$x_4+x_5>0$

$x_4>0,x_5>0$

所以 $0<x<x_4,g(x)>0,f^{\prime \prime }>0,f^{\prime }(x)\uparrow$

$x_4<x<x_5,g(x)<0,f^{\prime \prime }(x)<0,f^{\prime }(x)\downarrow$

$x>x_5,g(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0,f^{\prime }(x)\uparrow$

$x\to 0,f^{\prime }(x)\to -\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to +\mathrm{\infty }$

$f(1)=0$

所以 $0<x_1<x_2=1<x_3$

所以 $a>2$ 时 $f(x)$ 有 3 个不同的极值点。

$a>2$

解（2）1

证明 $x_1{x}_2{x}_3=1$

即证 $x_1{x}_3=1$

$f^{\prime }(x)=x-alnx-\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}+alnx-x=-f^{\prime }(x)$

所以 $f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_3)=0$

因为 $0$ 与 $0$ 互为相反数，

所以 $x_1$ 与 $x_3$ 互为倒数，

所以 $x_1{x}_3=1$

解（2）2

证 $x_1+1+x_3>3a-3$

$x_1+x_3+4>3a$

因为 $x_1{x}_3=1$

所以即证 $x_1+\frac{1}{x_1}+4>3a(0<x_1<1)$

$\frac{1}{x_1}+aln{x}_1-x_1=0$

$aln{x}_1=x_1-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1^2-1}{x_1^2}$

$a=\frac{x_1^2-1}{x_{1}ln{x}_1}$

即证 $x_1+\frac{1}{x_1}+4>\frac{3(x_1^2-1)}{x_{1}ln{x}_1}(0<x<1)$

$x_1^2+4x_1+1>\frac{3(x_1^2-1)}{ln{x}_1}$

$(x_1^2+4x_1+1)ln{x}_1-3(x_1^2-1)<0$

令 $m(x)=(x^2+4x+1)lnx-3(x^2-1)(0<x<1)$

即证 $m(x)<0$

$m^{\prime }(x)=(2x+4)lnx-5x+4+\frac{1}{x}$

$m^{\prime \prime }(x)=2lnx+2+\frac{4}{x}-5-\frac{1}{x^2}$

$m^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{2(x-1{)}^2}{x^3}>0$

所以 $m^{\prime \prime }\uparrow ,m^{\prime \prime }(x)<m^{\prime \prime }(1)=0$

$m^{\prime }(x)\downarrow ,m^{\prime }(x)>m^{\prime }(1)=0$

$m(x)\uparrow ,m(x)<m(1)=0$

所以 $x_1+x_2+x_3>3(a-1)$

证毕

TIP

这种 3 个零点或极值点，然后证明这 3 个零点（极值点）的乘积为一个常数的题是近来的热门题。

这种题给出的函数往往是 $lnx+x-\frac{1}{x}$ 这种含 $lnx$、$x$、$-\frac{1}{x}$ 的式子，此时需要注意，当自变量 $x$ 取倒数或乘积为定值时，

$f^{\prime }(x)=x-alnx-\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}+alnx-x=-f^{\prime }(x)$

函数值可能互为相反数。

TIP

像这种有 3 个极值点或零点的题，一般通过分参是求不出 a 的范围的。所以需要多次求导，根据导函数的二次函数图像进行分类讨论，得出 a 的范围。

求 a 的范围的方法：

1. 分参。不行，因为定义域有无意义的点。
2. 同构。不行，没指数、对数，同构不了
3. 根据图像判断
4. 必要性探路。（可以用吗？不清楚）

TIP

像这种自变量互为倒数或相乘为一个定值的题，

$x_1{x}_3=1$

一般不能使用比值换元求解，而应该将一个变量用另一个变量表示 $x_1=\frac{1}{x_3}$ 进行求解。