26 题型技巧课：匀速线框

题型特征

线框在外力作用下匀速穿过磁场。

线框

由金属导线围成的矩形框，可单匝可多匝。

线框穿磁场

当进入或离开时只有一条边切割，其实是个单棒模型。

当完全进入时两条边切割，完全抵消，电动势、电流、安培力均为 0。

求当进入或离开时的安培力

$E=B{L}_{ab}v$

$I=\frac{E}{R}$

$F_{\mathrm{安}}=IB{L}_{ab}$

得：

$\frac{F_{\mathrm{安}}=B^2{L}_{ab}^{2}v}{R}$

n 匝，进入或离开时的安培力

安培力、总电阻、电动势要乘匝数 n。

电动势：$E=nB{L}_{ab}v$

总电阻：$R=n{R}_{\mathrm{单}}$

安培力：$F_{\mathrm{安}}=nIB{L}_{ab}$

得

$F_{\mathrm{安}}=\frac{n{B}^2{L}_{ab}^{2}v}{R_{\mathrm{单}}}$

电压

进/出过程焦耳热

1. 列动能定理，求 $W_{\mathrm{安}}$
2. 列 $-W_{\mathrm{安}}=Q_{\mathrm{总}}$，求 $Q_{\mathrm{总}}$
3. 若求某条边的生热，按电阻分配

线框完全在磁场中时焦耳热为 0。

电量

$q=\bar{I}\mathrm{\Delta }t$

$\bar{I}=\frac{\bar{E}}{R}$

$\bar{E}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}$

$q=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{R}=\frac{BS}{R}$

还没进入到完全进入：$q=\frac{BS}{R}$

完全进入到彻底离开：$q=\frac{BS}{R}$

还没进入到完全离开：0

匀速线框分析思路

当成匀速单棒分析即可。

线框在光滑水平面上， 在 F 的作用下向右匀速进入磁场。

匀速线框求外力

$E=BLv$

$I=\frac{E}{R}$

$F_{\mathrm{安}}=IBL$

得：

$F_{\mathrm{安}}=\frac{B^2{L}^{2}v}{R}$

$F=F_{\mathrm{安}}=\frac{B^2{L}^{2}v}{R}$

匀速线框求焦耳热

动能定理：

$0=W_F+W_{\mathrm{安}}$

$Q_{\mathrm{总}}=-W_{\mathrm{安}}=W_F$

F 通过对线框做功给线框的能量全部变成了焦耳热。

例题

题 1

解

$BC$

题 2

解

（1）

$E=BLv$

$U_{dc}=\frac{E}{6R}\times 5R=\frac{5}{6}BLv$

（2）

$\{\begin{array}{l}E=BLv\\ I=\frac{E}{6R}\\ F_{\mathrm{安}}=IBL\\ F_{\mathrm{安}}=\frac{B^2{L}^{2}v}{6R}\end{array}$

$F=F_{\mathrm{安}}=\frac{B^2{L}^{2}v}{6R}$

（3）

$0=W_{\mathrm{安}}+W_F$

$Q=-W_{\mathrm{安}}$

$Q=W_F=\frac{B^2{L}^{2}v}{6R}\times 4L=\frac{2B^2{L}^{3}v}{3R}$

$Q_{bc}=\frac{Q}{6R}\times 2R=\frac{2B^2{L}^{3}v}{9R}$

题 3

解

$A$