难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$a=2c$

$G:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

设 $l_{MN}:x=my+1,m=\frac{1}{k}$

$$\mathrm{设}\$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)\$\$k_{mp}+k_{np}=0\$\$\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=0\$\$⟺\frac{x_1+2}{y_1}+\frac{x_2+2}{y_2}=0\$\$\frac{m{y}_1+3}{y_1}+\frac{m{y}_2+3}{y_2}=0\$\$m+\frac{3}{y_1}+m+\frac{3}{y_2}=0\$\$2m+3\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=0\$\$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+1\end{array}\$\$(3m^2+4)y^2+6my-9=0\$\$y_1+y_2=\frac{-6m}{3m^2+4},y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4}\$\$2m+3\frac{-6m}{-9}=0\$\$m=0\$\mathrm{当}MN\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{于}x\mathrm{轴}\mathrm{时}，\mathrm{使}\mathrm{得}\$\mathrm{\angle }MPO=\mathrm{\angle }MPO\$，\mathrm{此}\mathrm{时}k\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}。$$

解（3）

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{-y_1}{y_2}$

设 $y_1=\lambda y_2,\lambda <0,\frac{S_1}{S_2}=-\lambda$

$(1+\lambda )y_2=\frac{-6m}{3m^2+4}$

$\lambda y_2^2=\frac{-9}{3m^2+4}$

$(1+\lambda {)}^2{y}_2^2=\frac{36m^2}{(3m^2+4{)}^2}$

$\frac{(1+\lambda {)}^2}{\lambda }=-\frac{4m^2}{3m^2+4}$

$=-\frac{4m^2+\frac{16}{3}-\frac{16}{3}}{3m^2+4}$

$=-(\frac{4}{3}-\frac{16}{3(3m^2+4)})$

$=\frac{16}{3(3m^2+4)}-\frac{4}{3}\in (-\frac{4}{3},0],(m^2⩾0)$

所以 $\frac{(1+\lambda {)}^2}{\lambda }\in (-\frac{4}{3},0]$

$\frac{{\lambda }^2+2\lambda +1}{\lambda }\in (-\frac{4}{3},0]$

$\lambda +\frac{1}{\lambda }+2\in (-\frac{4}{3},0]$

$\lambda +\frac{1}{\lambda }\in (-\frac{10}{3},-2]$

画出对钩函数图像，得出 $\lambda \in (-3,-\frac{1}{3})$

$\frac{S_1}{S_2}=-\lambda \in (\frac{1}{3},3)$

TIP

求 $\frac{y_1}{y_2}$ 的取值范围，设 $y_1=\lambda y_2$，再根据韦达定理，得出 $\lambda$ 与 m 的关系。算关于 m 函数的值域，就是关于 $\lambda$ 函数的值域，从而求出 $\lambda$ 的取值范围。