难度： 困难

标签： 放缩数列问题导数问题证明题绝对值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=|x-a|-lnx(a>0)$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）比较 $\frac{ln{2}^2}{2^2}+\frac{ln{3}^2}{3^2}+...+\frac{ln{n}^2}{n^2}$ 与 $\frac{(n-1)(2n+1)}{2(n+1)}$ 的大小（$n\in N_{+}\mathrm{且}n>2$），并证明你的结论；

解

第一问

有结论 $lnx<x-1$

第二问

因为 $lnx<x-1$

所以 $\frac{lnx}{x<1-\frac{1}{x}}$

$\frac{ln{n}^2}{n^2<1-\frac{1}{n^2}}$

$\mathrm{左}<(1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+...+1-\frac{1}{n^2})$

$=[n-1-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2})]$

$<n-1-(\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4})+...+\frac{1}{n(n+1)}$

$n-1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1})=...$

题目得证。