08 构造函数之比较大小

在高考中有两类常见问题会涉及到构造函数，一类就是比较大小这类问题，一类是给出导数式求原式。

例题 1

设 $a=\frac{ln2}{2}$，$b=\frac{ln3}{3}$，$c=\frac{1}{e}$，则（）

$A.c<a<b$

$B.c<b<a$

$C.a<b<c$

$D.b<a<c$

解：

C.

构造 $\frac{lnx}{x}$ 函数。

$(\frac{lnx}{x}{)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-lnx}{x^2}=\frac{1-lnx}{x^2}$

当在 $(0,e)$ 时，$(\frac{lnx}{x}{)}^{\prime }>0$，

当在 $(e,+\mathrm{\infty })$ 时，$(\frac{lnx}{x}{)}^{\prime }<0$，

所以原函数在 $(0,e)$ 单调递增，在 $(e,+\mathrm{\infty })$ 单调递减。

$a=f(4)=\frac{ln4}{4}$

$b=f(3)=\frac{ln3}{3}$

$c=f(e)=\frac{lne}{e}$

所以 $c>b>a$。

例题 2

已知 $a=3ln{2}^{\pi }$，$b=2ln{3}^{\pi }$，$c=3ln{\pi }^2$，则下列选项正确的是（）

$A.a>b>c$

$B.c>a>b$

$C.c>b>a$

$D.b>c>a$

解：

TIP

同除或同乘一个公倍数。

$a=3\pi ln2$

$b=2\pi ln3$

$c=6ln\pi$

两边同除 $6\pi$，得

$a^{\prime }=\frac{ln2}{2}=\frac{ln4}{4}$

$b^{\prime }=\frac{ln3}{3}$

$c^{\prime }=\frac{ln\pi }{\pi }$

所以 $b^{\prime }>c^{\prime }>a^{\prime }$

例题 3

若 $2^a+\frac{ln2}{2}=3^b+\frac{ln3}{3}=5^c+\frac{ln5}{5}$，则（）

$A.cln5>aln2>bln3$

$B.aln2>cln5>bln3$

$C.bln3>cln5>aln2$

$D.aln2>bln3>cln5$

解：

$A.$

看选项，$A.ln{5}^c>ln{2}^a>ln{3}^b$

是要比较 $5^c,2^a,3^b$ 之间的大小关系。

而原式中又是等式关系，所以可以得出选 $A.$