难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

若函数 $f(x)=alnx-\frac{1}{2}{x}^2+a+\frac{1}{2}(x>0)$ 有 2 个零点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$

（1）求 $a$ 的取值范围；

（2）若 $f(x)$ 在 $(x_1,0)$ 和 $(x_2,0)$ 处的切线交于点 $(x_3,y_3)$，求证：$2x_3<x_1+x_2<2(a+1)$

解（1）

$f(x)=alnx-\frac{1}{2}{x}^2+a+\frac{1}{2}(x>0)$

$alnx-\frac{1}{2}{x}^2+a+\frac{1}{2}=0$ 有 2 个解

$f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}-x=\frac{a-x^2}{x}$

一、当 $a⩽0$

$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow ,f(x)$ 至多 1 个解，不符题意，舍去

二、$a>0$

$0<x<\sqrt{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>\sqrt{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x\to 0,f(x)\to -\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },f(x)\to -\mathrm{\infty }$

$f(x{)}_{max}=f(\sqrt{a})=\frac{1}{2}alna-\frac{1}{2}a+a+\frac{1}{2}>0$

$alna+a+1>0$

令 $\phi (a)=alna+a+1$

${\phi }^{\prime }(a)=lna+2$

$0<a<e^{-2},\phi (a)\downarrow$

$a>e^{-2},\phi (a)\uparrow$

$\phi (a{)}_{min}=\phi (e^{-2})=-e^{-2}+1>0$

所以 $a>0$

TIP

如果能算出零点，那就是零点；

如果算不出，那么函数本身可能就恒大于 0。

解（2）

证 $2x_3<x_1+x_2$。

首先得老老实实把直线方程写出来。

$l_1:y=(\frac{a}{x_1}-x_1)(x-x_1)$

$l_2:y=(\frac{a}{x_2}-x_2)(x-x_2)$

$(\frac{a}{x_1}-x_1)x-(a-x_1^2)=(\frac{a}{x_2}-x_2)x-(a-x_2^2)$

$(\frac{a}{x_1}-x_1-\frac{a}{x_2}+x_2)x=a-x_1^2-a+x_2^2=x_2^2-x_1^2$

$(a\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}+x_2-x_1)x=x_2^2-x_1^2$

$(\frac{a}{x_1{x}_2}+1)x=x_2+x_1$

$\frac{a+x_1{x}_2}{x_1{x}_2}x=x_2+x_1$

$x=x_3=\frac{x_1{x}_2(x_1+x_2)}{a+x_1{x}_2}$

要证 $2x_3<x_1+x_2$

即证 $\frac{2x_1{x}_2(x_1+x_2)}{a+x_1{x}_2}<x_1+x_2$

$\frac{2x_1{x}_2}{a+x_1{x}_2}<1$

$2x_1{x}_2<a+x_1{x}_2$

$x_1{x}_2<a$

又由

$\{\begin{array}{l}aln{x}_1-\frac{1}{2}{x}_1^2+a+\frac{1}{2}=0\\ aln{x}_2-\frac{1}{2}{x}_2^2+a+\frac{1}{2}=0\end{array}$

得

$aln\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{2}(x_1^2-x_2^2)=0$

$aln\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}(x_2^2-x_1^2)$

$a=\frac{x_2^2-x_1^2}{2ln\frac{x_2}{x_1}}$

即证 $x_1{x}_2<\frac{x_2^2-x_1^2}{2ln\frac{x_2}{x_1}}$

$2ln\frac{x_2}{x_1}<\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t$

$2lnt<t-\frac{1}{t}$

令 $h(t)=2lnt-t+\frac{1}{t}$

$h^{\prime }(t)=\frac{2}{t}-1-\frac{1}{t^2}=\frac{2t-t^2-1}{t^2}=\frac{-(t-1{)}^2}{t^2}<0$

所以 $h(t)\downarrow ,h(t)<h(1)=0$

所以 $2x_3<x_1+x_2$

证右边 $x_1+x_2<2(a+1)$

因为 $f(1)=a>0$

$0<x<\sqrt{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>\sqrt{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

所以 $0<x_1<1<x_2$

要证 $x_1+x_2<1+2a+1$

只需证 $x_2<2a+1$

只需证 $f(2a+1)<f(x_2)=0$

证 $aln(2a+1)-\frac{1}{2}(2a+1{)}^2+a+\frac{1}{2}<2a^2-\frac{1}{2}(2a+1{)}^2+a+\frac{1}{2}=-a<0$

所以 $x_2<2a+1$

证毕

TIP

使用点斜式来写直线方程式，可以用这样的形式：$y-y_0=k(x-x_0)$，这样更好记，不容易错。

TIP

一般有两个零点，这两个零点都有个大概的范围。比如 $0<x_1<1<x_2$。

可以自己带进入一个数到 $f(x)$，判断与 0 的关系，然后得出与两个零点的关系。