01 基础 - 匀变速直线运动基本公式

匀变速直线运动公式

𝒗𝟎、𝒗𝒕、𝒂、𝒕、𝒙之间的故事。

速度时间公式

𝒗𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒂t

注意 a 的正负！通常以𝒗𝟎为正方向，匀加速 a 为正，匀减速 a 为负

初速度为 0 的匀加速：𝒗𝒕 = 𝒂t

平均速度公式

位移时间公式

速度位移公式

速度位移公式

提问

描述匀速直线运动的物理量有哪几个？

3 个。$x=vt$

描述匀变速直线运动的物理量有哪几个？

5 个。

分别是 $v_0,v_t,a,t,x$

注意 $v_0,v_t$ 都是瞬时速度！不是平均速度。

根据下面的 v-t 图象，能写出 5 个公式吗？

注：若物体起始的位移为 0。

可以。

1、少 x 的公式

根据线可以表示为 $y=kx+b$ 这种形式，可得：

$v_t=v_0+at$

2、少 a 的公式

根据面积的物理意义为位移 x，可得：

$x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}$

通过梯形面积公式计算得来。表示经过的位移。若起始位置为 0，那么等于位移坐标。

3、少 $v_0$ 的公式

$x=v_t\cdot t-\frac{1}{2}a{t}^2$

可以看作是一个矩形减去一个三角形。表示经过的位移。若起始位置为 0，那么等于位移坐标。

4、少 $v_t$ 的公式

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

可以看作是一个矩形加上一个三角形。表示经过的位移。若起始位置为 0，那么等于位移坐标。

5、少 t 的公式

$2ax=v_t^2-v_0^2$

高中物理大多数公式都是末减初。这里的 x 表示 $v_0$ 到 $v_t$ 经过的位移。

描述匀变速直线运动的物理量有什么特点？

描述匀变速直线运动的 5 个物理量 $v_0,v_t,a,t,x$ 中，除了 $t$，其余 4 个 $v_0,v_t,a,x$ 都是矢量。

它们的符号可能为正，可能为负。

匀变速直线运动公式有什么规律？

五个公式全部都是由 4 个字母构成，若想解得确定解，需知另外 3 个字母。

如何确定使用哪个公式？

写出 5 个物理量，勾出题目中涉及的 3 个，以及要求的 1 个物理两。哪个物理量没出现，就用哪个公式。

$\{\begin{array}{l}{v}_0\\ v_t\\ a\\ t\\ t\end{array}$

例题

练习 1

正方向物理量：$v_0,x$

负方向物理量：$a,v_t$

正方向物理量：$v_0,v_t,x$

负方向物理量：$a$

正方向物理量：$v_0,v_t,a,x$

负方向物理量：无

正方向物理量：$v_0,v_t,a,x$

负方向物理量：无

练习 2

请选择对应公式。

TIP

可以体会到，使用到的公式无非就是 5 个。

序号	已知量	求	使用公式
1	$v_0,v_t,a$	$x$	$2ax=v_t^2-v_0^2$
2	$v_0,v_t,a$	$t$	$v_t=v_0+at$
3	$v_0,x,a$	$v_t$	$2ax=v_t^2-v_0^2$
4	$v_0,v_t,t$	$x$	$x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}$
5	$v_0,t,a$	$v_t$	$v_t=v_0+at$
6	$v_0,a,t$	$x$	$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
7	$v_t,a,t$	$x$	$x=v_{t}t-\frac{1}{2}a{t}^2$
8	$v_0,x,v_t$	$a$	$2ax=v_t^2-v_0^2$
9	$v_0,v_t,x$	$t$	$x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}$
10	$v_0,v_t,t$	$a$	$v_t=v_0+at$
11	$v_t,x,t$	$v_0$	$x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}$
12	$v_t,a,x$	$t$	$x=v_{t}t-\frac{1}{2}a{t}^2$
13	$v_t,a,t$	$v_0$	$v_t=v_0+at$
14	$v_0,x,t$	$v_t$	$x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}$
15	$x,a,v_t$	$v_0$	$2ax=v_t^2-v_0^2$
16	$v_0,x,t$	$a$	$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
17	$t,x,a$	$v_0$	$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
18	$a,t,x$	$v_t$	$x=v_{t}t-\frac{1}{2}a{t}^2$
19	$x,a,v_0$	$t$	$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
20	$t,x,v_t$	a	$x=v_{t}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

题 1

一辆卡车初速度为 $v_0=10m/s$，以 $a=3m/s^2$ 的加速度匀加速行驶，求：

（1）卡车在 3s 末的速度 v

（2）卡车在 6s 内的位移 $x_6$

（3）卡车在 6s 内的平均速度 $\bar{v}$

解

(1)

由公式 $v_t=v_0+at$ 得，

$v=10+3\times 3=10+9=19m/s$

(2)

由公式 $x_6=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ 得，

$x_6=10\times 6+\frac{1}{2}\times 3\times 36$

$=60+54$

$=114$

(3)

$\bar{v}=\frac{x}{2}=\frac{114}{6}=19m/s$

题 2

一物体做匀加速直线运动，初速度为 8m/s，第 1s 内通过的位移是 9m，求：

（1）加速度的大小；

（2）第 3s 内的位移大小。

解

(1)

$v_0=8m/s$

$t=1s$

$x=9m$

由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$9=8+\frac{1}{2}a$

$a=2m/s^2$

(2)

由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ 得，

$x_2=8\times 2+\frac{1}{2}\times 2\times 4$

$=16+4=20m$

$x_3=8\times 3+\frac{1}{2}\times 2\times 9$

$=24+9$

$=33m$

函数公式题

总结

TIP

根据公式，同构函数。

例如，

不能想当然的认为 $\frac{x}{t}=v$，前面是平均速度，后面是瞬时速度。

正确做法是将公式同构，

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$\frac{x}{t}=v_0+\frac{1}{2}at$

由此可以得出 $v_0=8m/s$

$\frac{1}{2}a=k=-2,a=-4m/s^2$

$v_4=8-4\times 4$

$=-8m/s$

所以正确答案是 -8m/s，而不是 0!

题 1

质点做直线运动的位移 x 与时间 t 的关系为 $x=5t+t^2$，求该质点：

（1）前 2s 内的平均速度大小

（2）第 3s 内的位移

解

(1)

$x=5t+t^2$

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

所以 $v_0=5m/s$

$a=2m/s$

$x_2=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$=5\times 2+\frac{1}{2}\times 2\times 4$

$=10+4$

$=14$

(2)

$x_2=14m$

$x_3=5\times 3+\frac{1}{2}\times 2\times 9$

$=15+9$

$=24$

$x_3-x_2=10m$

题 2

质点沿 x 轴做直线运动的位置坐标 x 与时间 t 的关系为 $x=2+6t-t^2$，则该质点（）

$A.\mathrm{第}1s\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{是}7m$

$B.\mathrm{第}2s\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{是}5m/s$

$C.3s\mathrm{末}\mathrm{质}\mathrm{点}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{减}\mathrm{为}0$

$D.\mathrm{质}\mathrm{点}2s\mathrm{末}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{与}4s\mathrm{末}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{相}\mathrm{同}$

:::details（法一，不算出 a 和 t） 起始坐标位置 $x_0=2m$

$x_1=2+6-1=7m$

$x_2=2+16-4=14m$

所以第 1s 内的位移大小是 $x_1-x_0=7m-2m=5m$

A 错。

$\frac{x_2-x_0}{2}=\frac{14-2}{2}=6m/s$

B 错。

$v=f^{\prime }(t)=6-2t$

$v_3=6-2\times 3=0$

C 对。

$v_2=2,v_4=-2$

D 错。

选 $C.$ :::

法二（算出 a 和 t）

$x=2+6t-t^2$

根据公式 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$，得

$v_0=6m/s$

$a=-2m/s^2$

进阶题（无 a 先求 a）

以下两题均为匀变速直线运动。

题 1

一物体初速度为 2m/s，从这时开始计时 8s 内它的位移为 80m，问前 5s 内它的位移多达？

解

$v_0=2m/s$

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$80=2\times 8+\frac{1}{2}a\cdot 64$

$80=16+32a$

$64=32a$

$a=2m/s^2$

$x_5=2\times 5+\frac{1}{2}\times 2\times 25$

$=10+2$

$=35$

题 2

一物体初速度为 4.5m/s，第 5s 内的位移为 9m，问前 6s 内的位移为多大？

解

$v_0=4.5$

$x_4=4v_0+\frac{1}{2}a\cdot 16$

$=4v_0+8a$

$x_5=5v_0+\frac{25}{2}a$

$x_5-x_4=v_0+\frac{9}{2}a=9$

$a=1m/s^2$

所以 $x_6=4.5\times 6+\frac{1}{2}\times 1\times 36$

$=27+18$

$=45$

题 3

物体由静止开始做匀加速直线运动，在第 7 秒内的平均速度为 2.6m/s，则物体加速度为（）

$A.0.4m/s^2$

$B.0.37m/s^2$

$C.2.6m/s^2$

$D.0.43m/s^2$

解

$v_0=0$

$x_6=\frac{1}{2}a\cdot 36$

$x_7=\frac{1}{2}a\cdot 49$

$\overline{v_7}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot 13}{1}=\frac{13}{2}a=2.6$

$a=2.6\times \frac{2}{13}=0.2\times 2=0.4$

选 $A$