08 向量的数量积与投影

数量积定义

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 称之为两个向量的数量积，也称为内积。

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 称之为两个向量的外积，高中暂时不会涉及。需要与内积区别开来。

两个向量的数量积运算规则如下：

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\theta$，其中 $\theta$ 为两个向量之间的夹角，范围为 $[0,\pi ]$。

为什么是这样的运算规则呢？额，你只需要这么记就好了。可以类比物理的做功，方便记忆。

投影的定义

我们假设有一束光垂直于一个向量往下照，导致另一个向量在这个向量上形成的阴影。

如下，这个阴影的长度为 $|\overrightarrow{a}|\cdot cos\theta$，其中 $\theta$ 为两个向量之间的夹角，范围为 $[0,\pi ]$。

投影可正可负。

向量数量积运算法则

正确

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\\ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}\end{array}$

坐标表示的向量相乘

有两个非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$

假设它们用坐标表示： $\overrightarrow{a}=(x_1,y_2),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，

则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$（横坐标相乘，纵坐标相乘）

错误 1

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})$

怎么证明是错的呢？

因为向量的数量积为一个数字，所以我们可以说

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=m\in R$

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=n\in R$

则原式变为 $m\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot n=n\overrightarrow{a}$，这是不成立的。因为如果 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 不平行，那么这个式子永远不可能相等。

错误 2

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ 不能化简为

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$。

因为 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos{\theta }_1=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{c}|\cdot cos{\theta }_2$

向量的平方等于向量模的平方

$|\overrightarrow{a}{|}^2={\overrightarrow{a}}^2=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot cos0=|\overrightarrow{a}{|}^2$

例题

例题 1

已知非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，则 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为（）。

解：

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2$

$=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2$

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$=4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$

$4|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|cos\theta =0$

$\therefore cos\theta =0$

$\theta =\frac{\pi }{2}$

例题 2

已知 $2|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|，(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{a}$，则 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角是（）。

解：

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=0$

$|\overrightarrow{a}{|}^2-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}=0$

$|\overrightarrow{a}{|}^2-|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos\theta =0$

$|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|cos\theta =0$

$|\overrightarrow{a}|-2|\overrightarrow{a}|cos\theta =0$

$\therefore 1-2cos\theta =0$

$cos\theta =\frac{1}{2}$

$\theta =\frac{\pi }{3}$